基于創(chuàng)新能力培養(yǎng)的離散數(shù)學課程教學改革探索

摘要：以素質(zhì)教育的理念為指導，針對離散數(shù)學課程的特點，以創(chuàng)新能力培養(yǎng)為核心，以夯實數(shù)學基礎(chǔ)、善用啟發(fā)式教學法、建立“雙主”互動教學模式、強化實踐教學等為手段，闡述在實際教學中培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維及提升抽象思維能力、邏輯推理能力、創(chuàng)新能力的教學理念及舉措。

關(guān)鍵詞：離散數(shù)學；創(chuàng)新能力；信息與計算科學；教學模式；教學改革

0、引言

創(chuàng)新能力是指人們在豐富知識和開闊視野的基礎(chǔ)上，通過創(chuàng)新性思維活動，發(fā)現(xiàn)新問題，提出解決問題的新思想、新理論、新思路和新途徑，并通過創(chuàng)造性的實踐活動，產(chǎn)生新產(chǎn)品、新技術(shù)或新方法的能力。創(chuàng)新是一個民族進步的靈魂，是一個國家興旺發(fā)達的不竭動力，培養(yǎng)大學生創(chuàng)新能力是高等教育的主要任務(wù)之一?；趧?chuàng)新能力培養(yǎng)的教學改革與實踐，是當前教育教學改革的核心。校園氛圍和課堂氛圍對學生學習知識、培養(yǎng)能力和提升素質(zhì)的作用不容忽視，尤其對大學生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)具有至關(guān)重要的作用。人才培養(yǎng)的一個重要目標和任務(wù)，就是要使學生激發(fā)創(chuàng)新潛質(zhì)、養(yǎng)成創(chuàng)新思維習慣及提升創(chuàng)新本領(lǐng)，這需要教師在教學實踐中進行積極的探索、改革與實踐。

離散數(shù)學是數(shù)理邏輯、集合論、關(guān)系論、函數(shù)論、組合數(shù)學、數(shù)論、代數(shù)結(jié)構(gòu)、圖論等領(lǐng)域匯集起來的一門綜合學科，它跨越了數(shù)學的諸多分支，并與整個計算機科學緊密聯(lián)系，為計算機科學提供了一種形式化的描述語言和嚴謹?shù)倪壿嬐评磉^程。由于離散數(shù)學課程的高度抽象性、超強理論性及多學科交匯的特性，使教學過程中普遍存在概念難記、定理難懂、學生怕學、教師難教、學生的學習積極性難以調(diào)動的現(xiàn)象，常被學生戲稱為難解的“天書”。如何在這樣一門課程中培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，對于教師來說是一個極大的挑戰(zhàn)。筆者根據(jù)十多年來講授信息與計算科學專業(yè)離散數(shù)學課程的教學經(jīng)驗，探討和闡述了強化學生創(chuàng)新思維和培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的教學理念與實踐。

1、強化數(shù)學基礎(chǔ)，發(fā)揮信息與計算科學專業(yè)數(shù)學優(yōu)勢

信息與計算科學專業(yè)是1998年國家教育部進行專業(yè)改革與調(diào)整時在數(shù)學學科門類下新增設(shè)的一個理科專業(yè)，它是由計算科學、計算機科學、信息科學、控制科學等多學科交叉滲透誕生的一門新專業(yè)，這一專業(yè)的設(shè)置較好地適應(yīng)了新世紀以信息技術(shù)為核心的全球經(jīng)濟發(fā)展格局下的數(shù)學人才培養(yǎng)與專業(yè)發(fā)展。信息與計算科學專業(yè)的教學目標是：培養(yǎng)具有良好的數(shù)學基礎(chǔ)、邏輯思維能力和抽象思維能力，掌握信息與計算科學的基本理論、基本方法和基本技能，并能夠利用所學的知識解決信息科學與工程技術(shù)實際問題的應(yīng)用型專門人才。這一目標要求學生應(yīng)具有扎實的數(shù)學理論基礎(chǔ)，能夠運用數(shù)學理論解決信息科學與工程技術(shù)領(lǐng)域的實際問題，而學生對信息的采集、篩選、分類、分析、壓縮、傳輸、保密、存貯、應(yīng)用等方面能力的形成，也需要良好的數(shù)學素質(zhì)做基礎(chǔ)。例如，數(shù)據(jù)庫原理及應(yīng)用課程要求學生能在數(shù)據(jù)庫設(shè)計和開發(fā)的過程中，掌握一種將現(xiàn)實世界的“實體”在計算機上實現(xiàn)“記錄”的抽象過程，關(guān)系數(shù)據(jù)庫中對數(shù)據(jù)庫實現(xiàn)“外部模式”到“概念模式”再到“存貯模式”的映像，也有一個由具體到抽象再到具體的轉(zhuǎn)換過程。學生只有具備較高的抽象概括能力和嚴密的邏輯思維能力，才能高效而又準確地建立這些過程。離散數(shù)學是一門數(shù)學課程，因此課程內(nèi)容既需具有最基本的理論，同時還要突出數(shù)學的特色，即數(shù)學的符號化、形式化、抽象性、嚴密性及邏輯性特點，使學生學習后有一定的離散抽象思維與邏輯思維能力。所以，在離散數(shù)學教學中，要把培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象思維能力、邏輯推理能力、數(shù)學表達能力和數(shù)學應(yīng)用能力作為著眼點，扎實地貫穿教學的全過程。對定理的學習，不是簡單的應(yīng)用，而是掌握證明過程即定理的由來，首先讓學生明確“已知條件”和“證明的目標”，再向?qū)W生介紹證明思路和方法以及講解方法的來源。通過嚴格的訓練，逐步實現(xiàn)思維方式的數(shù)學化，并使學生養(yǎng)成從特有的視角發(fā)現(xiàn)新問題、找尋新思路、嘗試新辦法的習慣，在這一過程中煉就創(chuàng)新性的思維方式和解決問題的能力。要采取“邏輯式思維”“經(jīng)脈式聯(lián)系”的教學路徑來確立學生的思維習慣，將學生從被動積累數(shù)學知識轉(zhuǎn)變到主動訓練數(shù)學思維方法上來，通過強化數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)建立起信息與計算科學專業(yè)的數(shù)學優(yōu)勢。數(shù)學系畢業(yè)的學生到軟件企業(yè)中大多從事軟件設(shè)計與分析工作，而計算機系畢業(yè)的學生則以做程序員的居多，原因就在于數(shù)學系畢業(yè)的學生有很強的分析推理能力。這充分說明了抽象思維和邏輯推理能力的重要性。

2、善用問題驅(qū)動型的啟發(fā)式教學法，融入有助于培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的教學理念

啟發(fā)式教學法是教師要通過設(shè)疑、誘導來調(diào)動學生的學習興趣及主動思維。問題驅(qū)動型的啟發(fā)式教學法符合人們天生對未知的探尋欲望，它由2個要點構(gòu)成：一是抽象概念、理論變?yōu)榫唧w實例的寓意之道：由具體實例來直觀、可感知地表達；二是問題的漸進性、相關(guān)聯(lián)的連串發(fā)問與探索。課堂教學過程是學生在教師指導下的學習活動過程，教師要結(jié)合教學內(nèi)容和學生的個性特點，善于去尋找創(chuàng)新能力培養(yǎng)的切入點，創(chuàng)設(shè)啟發(fā)誘導的環(huán)境，引導學生觀察、想象、思考，才能實現(xiàn)在數(shù)學課堂教學中對學生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。例如，數(shù)理邏輯中的“謂詞”是一個高度抽象的重要概念。在教學中，如果直接給出“謂詞”的定義，學生就會覺得抽象難明、如墜霧里。因此，在講授謂詞的概念時，筆者首先給出如下實例：（1）2是偶數(shù)；（2）6是偶數(shù)；（3）章子怡是演員；（4）范冰冰是演員。然后引導學生對這四個原子命題進行內(nèi)部結(jié)構(gòu)分析，找出它們的相異之處和相同之處。結(jié)果學生發(fā)現(xiàn)（1）和（2）的相異之處是主語不同，相同之處是謂語共享，（3）和（4）的相異之處也是主語不同，相同之處也是謂語共享。教師接著請學生再找些其它的實例，利用這些活生生的實例，引導學生用數(shù)學建模的思想方法分析并解決此類問題。

通過各種不同的實例，學生發(fā)現(xiàn)解決問題的基本數(shù)學模型是類同的，這種共同的數(shù)學模型就是謂詞。當學生明白其要義之后，再啟發(fā)他們抽象出一元謂詞的概念，引導他們?nèi)绾斡脭?shù)學符號來表述清楚這一概念。接著，給出兩個二元關(guān)系的實例，讓學生沿著剛才的思路，順理成章就抽象出了二元謂詞的概念，再引申出n元謂詞的概念。只有不斷設(shè)疑，營造解疑情景，才能讓學生深刻理解謂詞的實質(zhì)，真正明白謂詞就是刻畫個體的性質(zhì)或個體之間關(guān)系的謂語結(jié)構(gòu)的抽象形式。學生通過這些與生活密切相關(guān)的建模實例，不僅對謂詞的概念有一個清晰的直觀認識，而且更深刻地領(lǐng)會了謂詞概念是如何從這些實際問題中抽象出來的，而這正是數(shù)學的特質(zhì)和精髓，也是研究探尋新知的科學方法。其實，學生在數(shù)學分析中學過的導數(shù)、定積分、二重積分、三重積分、曲線積分和曲面積分等重要的數(shù)學概念，都是從實際問題中抽象出來的。筆者從教學中深刻體會到這一教學法常態(tài)化運用的必要性及教學效果的優(yōu)異性。離散數(shù)學很多重要概念都來源于實際問題，在教學過程中，教師就是要善于運用具體實例并通過設(shè)疑、引導，啟發(fā)學生對實際問題進行深入的思索，找出問題的本質(zhì)，抽象出數(shù)學思想。這樣，教師將抽象定義與現(xiàn)實世界中的實際問題相聯(lián)系，使學生可以牢固掌握離散數(shù)學這門課程中所體現(xiàn)的數(shù)學思想及數(shù)學方法，同時夯實學生的知識基礎(chǔ)和能力基礎(chǔ)，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。

3、建立以教師為主導、學生為主體的互動教學模式

教師的主導作用表現(xiàn)為：教師作為教學的策劃者和實施者，不只是知識的傳授者，更是知識的引導者、學生學習的助推者。學生的主體作用表現(xiàn)在：學生是知識的獲取者、學習的主體者和能動者。在教學過程中，既要重視教師的主導作用，又要強化學生的主體地位，將“雙主”作用結(jié)合起來相互促進，才能取得良好的教學效果。離散數(shù)學中的抽象概念和理論讓學生望而生畏，簡單的單向式授課，即使講解嚴密，學生仍然不明就里。如果讓學生積極地參與進來，將教學過程變?yōu)榻處煂б?、學生參與的“互動”過程，就會起到化難為易的效果。教師要善于通過互動來增強生動性、“共振性”，將離散數(shù)學的抽象概念和味同嚼蠟的定理、結(jié)論講解變?yōu)轲堄信d趣的探索或拓展游戲式活動的過程。例如，對于圖論中歐拉圖及其相關(guān)定理的講解，教師可以先用演示文稿將著名的“哥尼斯堡七橋”問題展示出來，分組讓學生思考和自我討論如何去解決這個問題，再由每個小組派代表發(fā)言，將他們的思考方法及解決辦法進行分享，然后教師評點，啟發(fā)學生歐拉是如何將橋的寬度、距離、島的大小等無關(guān)的因素去掉，進而構(gòu)建出一個抽象的以圖的形式呈現(xiàn)的數(shù)學模型，從而抽象到歐拉圖問題，最后順理成章地把問題過渡到新知識上。這樣，學生就會保持對問題求解的思路及追尋的欲望。在離散數(shù)學教學中，教師要善于通過生動的具體實例和互動的活動，將高度抽象的理論變換為可感知、易把握的實體，讓學生既感知了知識產(chǎn)生的背景，又體會到從現(xiàn)實問題到數(shù)學模型的抽象即數(shù)學建模的過程，讓學生在欣賞、活動和游戲中得到啟發(fā)。學習本身是學生自我探尋“未知”的過程，不是教師表達自己“已知”的過程，教師只是在學生學習的探索游戲中作為引導者和助推者，一旦學生有了學習的興奮點和掌握了學習的方法，解讀離散數(shù)學就會更有成就感。教師的作用在于能夠科學合理地主導教學過程，將學生獨立發(fā)現(xiàn)、探尋、解決問題的潛力和能動性充分地釋放出來。因此，教師要善于策劃、組織教學，并將教學過程變?yōu)榛?、求解問題、探索新知的雙向過程，要策劃實例、問題、活動、總結(jié)的課堂安排，創(chuàng)新教學形式，活躍課堂氣氛，調(diào)動學生學習的沖勁，改變單一的“填鴨”式教學模式，建立起發(fā)揮“雙主”作用的互動教學模式，從而激發(fā)學生的創(chuàng)新激情，使學生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力得到訓練。

4、重視實踐教學環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力

大學生創(chuàng)新能力培養(yǎng)是大學教育的重要一環(huán)，是推動人才培養(yǎng)模式改革的重要途徑。實踐教學環(huán)節(jié)在本科教育階段人才培養(yǎng)方面起著非常重要的作用，是培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力、理論聯(lián)系實際能力的重要手段。培養(yǎng)“拔尖創(chuàng)新人才”，需要教師從意識、知識、能力、素質(zhì)上為學生打好基礎(chǔ)。針對離散數(shù)學理論性強和實踐性強的課程特點，在教學過程應(yīng)突出離散數(shù)學的應(yīng)用性特色，探索將離散數(shù)學的教學內(nèi)容與實際應(yīng)用問題科學整合的路徑，加強實踐性教學環(huán)節(jié)，強調(diào)突出學生的主體作用，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力和對數(shù)學的“應(yīng)用意識”，讓學生在課堂中學會求知之法，從實踐中掌握能力。例如，對于生成樹和最小生成樹的教學，用演示文稿展示一個圖，頂點代表城市，邊代表城市間可鋪設(shè)的城軌，為使每個城市都有城軌相通，問至少要鋪設(shè)幾條城軌，怎樣鋪設(shè)？若在圖的每條邊上都賦予一個權(quán)，代表鋪設(shè)費用，問怎樣鋪設(shè)才能使得總造價最小？通過這樣的方式創(chuàng)造一個真實的情景，激發(fā)學生創(chuàng)造性地解決問題的欲望，再引出生成樹和最小生成樹的定義，介紹求生成樹的3種算法（破圈法、避圈法、廣度優(yōu)先搜索算法）和求最小生成樹的Kruskal算法及Prim算法。

由于課時的限制，我們在課堂上著重介紹算法的思想和原理，讓學生課后上機去實現(xiàn)這些算法，將教學沿深度和廣度方向拓展，讓學生在實踐中領(lǐng)會用計算機解決科學計算問題的步驟，領(lǐng)悟?qū)嶋H問題轉(zhuǎn)換為程序需要經(jīng)過一個對問題抽象的過程，體會到只有建立起完善的數(shù)學模型，才能設(shè)計出性能優(yōu)良的程序。學生在編程實踐中培養(yǎng)了自己去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的意識和能力。能力的訓練和掌握、知識的運用和創(chuàng)新，都必須依賴于實踐，實踐是通向創(chuàng)新成功的橋梁，通過實踐教學環(huán)節(jié)，學生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力得到鍛煉。錢學森院士在人生最后一次系統(tǒng)談話中指出：“今天我們辦學，一定要有加州理工學院的那種科技創(chuàng)新精神，培養(yǎng)會動腦筋、具有非凡創(chuàng)造能力的人才。所謂優(yōu)秀學生就是要有創(chuàng)新。沒有創(chuàng)新，死記硬背，考試成績再好也不是優(yōu)秀學生?！眲?chuàng)新說到底是一種實踐活動，只有進行實踐才能發(fā)現(xiàn)新問題、提出新思路、產(chǎn)生新產(chǎn)品，因此，實踐是創(chuàng)新的平臺。

教育部和財政部“十二五”期間實施的“高等學校本科教學質(zhì)量與教學改革工程”中的創(chuàng)新訓練項目是本科生個人或團隊，遵循“興趣導向、自主實施”的原則，在導師指導下，自主完成創(chuàng)新性研究項目設(shè)計、研究條件準備和項目實施、研究報告撰寫、成果（學術(shù)）交流等工作。從2010年起，廣東工業(yè)大學提出了培養(yǎng)創(chuàng)新實踐人才的系列改革措施，包括大學生創(chuàng)新行動計劃和研究生拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)計劃，推進人才培養(yǎng)模式改革和教學改革，強化學生創(chuàng)新實踐能力。筆者根據(jù)離散數(shù)學應(yīng)用背景和應(yīng)用領(lǐng)域的廣泛性，不斷挖掘和探索各領(lǐng)域的應(yīng)用實例，引導學生拓寬解決現(xiàn)實問題的思路及靈活應(yīng)用相關(guān)知識求解的興趣，在教學中有目的地提供給學生一些拓展性的研究課題，指導學生結(jié)合課程學習內(nèi)容以及工程應(yīng)用背景開展國家、省、學校的大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃項目。2010年至今，筆者指導的項目有1項獲得國家級大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練項目立項，3項獲得省級大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練項目立項。

5、結(jié)語

在教學過程中，我們堅持以素質(zhì)教育的現(xiàn)代教育理念為指導，在離散數(shù)學課程中進行了一些教學改革探索。實踐證明，這樣的教學方式探索取得了一定的成績，在提高學生學習興趣方面效果顯著，達到了創(chuàng)新人才培養(yǎng)的教學目的。