共圓
- 淺談四點共圓的簡單應用
材已經不學習四點共圓了,或者把四點共圓放在閱讀材料中,但是如果我們學會四點共圓,如果選擇、填空題里有幾何難題,那不管我們用什么方法,把答案做對就沒問題。考場上的書寫表達,有一種“改頭換面”的方法——將用了四點共圓的書寫方法,改寫成沒用四點共圓的書寫方法。一、 引例在剛剛結束的2023年中考,安徽省中考試卷中第22題是一道幾何綜合性的解答題,不少學生表示題目難度比較大,尤其是第二問無從下手。現在我們一起來研究這道題。【引例】(2023年安徽第22題)在Rt△
考試周刊 2023年34期2023-10-27
- 三點共線賽題的多種解法與探究
,E,C,H四點共圓，所以∠EHC=∠EBC①．由于AD∥BC，則有∠BCA=∠DAC=45°．在△APH中，由于BP⊥AC，則∠APB=45°，所以∠BCA=∠APB，故A,B,C,P四點共圓，因此∠EBC=∠APC②．由AC為直徑，得∠PFC=90°，又由于∠PHC=90°，故F,H,C,P四點共圓，則∠APC=∠AHF③．由①②③得∠AHF=∠EHC．圖2圖3圖4說明本題主要是通過圖形中邊與邊、角與角之間的關系進行轉換．證法1直接搭建起角相等的橋梁，
中學數學月刊 2023年3期2023-03-20
- 一道高聯預賽四點共圓問題的探究
1,Q,F2四點共圓.(2019年高中數學聯賽江西預賽第10題)四點共圓由解析幾何的代數計算來判定，思路有些單調.借助圖形結構的幾何性質和四點共圓的純幾何判定定理，我們可以從邊長度的計算去得到結論.上面的證法充分發掘橢圓中線段比例關系的特殊性質，這些性質使得我們在處理托勒密定理和斯特瓦爾定理中邊長運算時更加靈活便利,這表明借助幾何定理，在解析幾何中也能提高推理和計算的效率.通過以上多種思路探究和推理論證,既豐富了我們的解題方法,也拓展了我們對問題的理解,這
中學數學研究(江西) 2023年1期2023-01-12
- 數學競賽中四點共圓問題的證明方法例析
洛川 濮安山四點共圓問題通常通過構造輔助線與相似三角形等知識相結合，尋找邊角之間的數量關系，進行轉換，得到有效結論，利用對應的證明方法證明四點共圓.本文通過幾個典型例題總結分析數學競賽中四點共圓問題的不同證明方法，供參考.一、利用三點確定一個圓首先證明四點中的任意三點共圓，再證明第四個點在圓上.圖1例1 如圖1，設H為銳角三角形ABC的垂心，點D在直線AC上，HA=HD，四邊形ABEH為平行四邊形.證明：B,E,C,D,H五點共圓.分析：本題雖然是一道證明
中學數學研究(江西) 2022年9期2022-10-10
- 基于GeoGebra 的一類四點共圓問題的探究與推廣
圖形的性質.四點共圓是一類富有和諧美的幾何問題,如何將其轉化成為代數問題是一個難點, 在全國高考和各地模考中四點共圓問題經常出現. 文[1]通過對五道高考試題中的四點共圓進行賞析, 統一使用了圓的定義進行證明. 文[2]通過對文[1]中的四點共圓的結論進行推廣,統一使用了相交弦定理的逆定理進行證明. 本文利用解析法,借助兩個結論:共底邊的兩個三角形頂角相等,且在底邊的同側,則四點共圓;凸四邊形對角互補, 則四個頂點共圓, 對數學通報上一類四點共圓問題進行了
中學數學研究(廣東) 2022年13期2022-08-29
- 從一道高考試題探究圓錐曲線四點共圓問題
點A,B,C,D共圓.這是證明四點共圓的一個重要結論，類比于此，那么圓錐曲線上四點共圓時，應滿足怎樣的關系呢？1 試題再現(1)求C的方程；2 解法探析2.1 第(1)問解析2.2 第(2)問解析消去y并整理，得由韋達定理,得所以|TA|·|TB|設直線PQ的斜率為k2，同理可得由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，即有顯然k1-k2≠0，故k1+k2=0.即直線AB與直線PQ的斜率之和為0.則過A,B,P,Q四點的曲線系方程為因為|TA|·|TB|=
數理化解題研究 2022年19期2022-08-01
- “四大理念”下的教學構建
——以“探究四點共圓的條件”為例
一）教學內容四點共圓的條件的探究和證明。（二）內容解析四點共圓的條件是在學習了過一個點的圓、過兩個點的圓、過不在同一條直線上的三個點的圓、三角形與圓的關系、圓的內接四邊形后，對經過任意三點都不在同一條直線上的四點共圓的條件的探究。在學過“圓內接四邊形的對角互補”后，相應地，會產生這樣的疑問：對角互補的四邊形的四個頂點共圓嗎？探究四點共圓的條件是促進學生思維自然生長的需要，也是進一步在數學活動中培養學生數學學科核心素養的需要。在四點共圓條件的探究過程中，通過
中學教學參考 2022年11期2022-07-22
- 一個組合幾何命題的重新證明
等圓，則此4頂點共圓．文獻[1]對定理1的純幾何證明略顯復雜．其實定理1當是源自于一個漂亮的幾何恒等式．而這個幾何恒等式也是楊路教授得到的，并收錄在文獻[2]中，即是：定理2[2]平面凸四邊形A1A2A3A4中|AiAj|=aij(1≤i(R1R2+R3R4)a12a34+(R1R4+R2R3)a14a23=(R1R3+R2R4)a13a24．定理1的證明因四個外接圓中有3個是等圓，不妨設R1=R2=R3=R，代入定理2的恒等式可知三項的系數均為R(R+R
數學通報 2022年2期2022-07-12
- 一道三點共線問題的解法探究
,A,B,C四點共圓,得∠CBE=∠APC.①連結CE.由AC為圓的直徑,得∠CEA=90°=∠CHB,所以C,E,B,H四點共圓,可得∠CHE=∠CBE.②連結CF.由AC為圓直徑,得∠CFP=90°=∠CHP,所以C,H,F,P四點共圓,可得∠APC=180°-∠CHF.③綜合上述①②③ 三式,可得到∠CHE=∠CBE=∠APC=180°-∠CHF,即∠CHE+∠CHF=180°.所以E,H,F三點共線.視角2利用西姆松定理延長BH交直線AD于點P,連
高中數學教與學 2022年9期2022-06-22
- 由一道四點共圓問題引發的思考
劉暉四點共圓問題的常見命題形式是：（1）根據已知條件，判斷四點是否共圓;（2）根據已知條件，證明四點共圓.這類問題的運算量較大，求解過程較為繁瑣，通常需靈活運用直線的方程、直線的斜率，圓的定義、圓的方程、圓的性質、弦長公式，一元二次方程的韋達定理、判別式等來求解.本文結合2021年湖南師大附中5 月聯考的第22題，談一談四點共圓問題的解法.題目：第一個小問題較為簡單，只需設出直線的方程，將直線的方程與橢圓的方程聯立，構造一元二次方程，根據韋達定理和判別式進
語數外學習·高中版下旬 2022年7期2022-05-30
- 二次曲線系在圓錐曲線四點共圓問題中的應用
,B,Q,P四點共圓.由題意知，直線AB和PQ的斜率均存在且不等于0，則直線AB的方程為同理直線PQ的方程為則過A,B,Q,P四點的二次曲線系方程為(*)因為A,B,Q,P四點共圓，所以該圓也是曲線(*)中的一條曲線.方程(*)為圓的充要條件是因為λ≠0，所以k1+k2=0.因此直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和等于0.點評根據雙曲線方程及直線AB和PQ的方程，可寫出過A,B,Q,P四點的二次曲線系方程. 再由條件“|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|”
數理化解題研究 2022年7期2022-04-01
- 人教A版的一道“四點共圓”題的教學實踐與思考
,B,C，D四點共圓。點評與分析：這種解法實際上是待定系數法，它的本質上是代數思維。這是因為圓的一般方程突出了圓的方程的一般特征，即含有D,E,F三個參數的二元二次方程，只需要代入不共線的三個點，則圓的一般方程便轉化為D,E,F的三元一次方程組，只需解出這個三元一次方程組，就得到過三個點的圓的方程，最后把第四個點代入驗證即可。這類似于初中求二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的求解過程。類似地本題也可以設圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r≠0
牡丹江教育學院學報 2022年11期2022-02-22
- 探析高考試題 引導思維延展
——從一道高考試題探究圓錐曲線四點共圓問題
點A,B,C,D共圓.這是證明四點共圓的一個重要結論,類比于此,那么圓錐曲線上四點共圓時,有怎樣的關系呢?我們先看下面一道雙曲線上四點共圓的高考試題.試題再現(2021·新高考全國1)設在平面直角坐標系xOy中,已知點=2,點M的軌跡為C.(1)求C的方程;(2)設點T在直線x=上,過T的兩條直線分別交C于A,B兩點和P,Q兩點,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.這是一道直線與圓錐曲線綜合題,考查了數學抽象、數
中學數學研究(廣東) 2022年24期2022-02-16
- 一道四點共圓問題的多解及其命題背景探究
，B，M，N四點共圓.圖12 學生解法匯總評析：以上4種解法本質是相同的：一是將四點共圓這個幾何問題，轉化為向量數量積為0這個代數問題；二是都是通過設坐標，利用斜率關系和中點關系，將題目條件進行坐標轉化和坐標消元.所以說：在解析幾何中，幾何指揮代數，代數為幾何服務，化歸坐標永遠是王道.評析：利用與圓心和半徑解決四點共圓問題，也是一種好思路，用m表示半徑，用n表示半徑，還需要尋找兩者的關系n+m=-4進行消元.解法6：(曲線系方程法)因為點M,N在拋物線C上
中學數學研究(江西) 2021年11期2021-11-17
- 一道美國數學奧林匹克題的八種證法
、N、P、Q四點共圓.(第19屆美國數學奧林匹克第5題)圖1從圖形結構來看，此題條件精煉，結構優美，解法豐富.文[1]利用線段間的數量關系結合相交弦定理對此賽題進行了證明，文[2]分別運用三角法和解析法給出兩種證法，筆者在文[3]中利用反演變換給出這一賽題的新證法，并在文[4]中通過類比和改造圖形結構演繹出一些新結論.本文從圖形特征出發，利用相似三角形的性質、圓的有關性質和定理及三角代換等技巧，從而給出下面八種新的證明方法，以饗讀者.1 利用相似三角形的判
中學數學研究(江西) 2021年11期2021-11-17
- 四點共圓在中考壓軸題中的應用
——以廣東省近五年的中考題為例
市文園中學 四點共圓在中考的直接考察意圖不明顯,但通過四點共圓將各類問題轉化為圓的常見問題,再用圓的基本性質將問題解決,達到事半功倍的效果,有助于學生形成新的數學模型.本文通過反證法證明四點共圓的兩個判定定理,并將它們應用在近五年廣東中考題中,再將常規方法和四點共圓的方法進行對比,總結出四點共圓的優點,培養學生的綜合解題能力和嚴謹的學習態度.1 四點共圓的兩個判定方法定理1四邊形的一組對角互補,那么這個四邊形的四個頂點共圓.將定理1 轉化為符號語言和圖形語
中學數學研究(廣東) 2020年12期2020-07-10
- 一組合幾何問題的證明和推廣
相等，則此4頂點共圓.帖子發出，迅速得到余澤偉老師、朱斌老師、李榮峰老師、駱來根老師及本人的解答.本題簡潔優美，證法多樣，余味不絕，遂探究推廣，幸得點滴，下以示之，望得指點.引理1若△ABC和△ABD外接圓是等圓且不重合，則C、D在AB同側時，∠ACB+∠ADB=180°；C、D在AB異側時，∠ACB=∠ADB.(如圖1)由同圓或等圓中，等弧所對應的圓周角相等，及圓內接四邊形對角互補容易得之.引理2△ABC三個頂點與點D構成平面凸四邊形，若△ABD、△AC
數學通報 2020年5期2020-06-23
- 圓內接四邊形的性質與判定定理的應用
圖2 圖33 共圓的證明問題根據圓內接四邊形的性質與判定定理、相應平面幾何中的定理與性質,通過邊、角的對應關系結合等量代換等數學思維來證明相應的線段或角度關系,從而證明四點共圓等問題. 圖4(1)證明:B,D,H,E四點共圓;(2)證明:CE平分∠DEF.證明(1)在△ABC中,因為∠B=60°,所以∠BAC+∠BCA=120°,因為AD,CE是角平分線,所以∠HAC+∠HCA=60°,故∠AHC=120°,于是∠EHD=∠AHC=120°,因為∠EBD
高中數理化 2020年4期2020-06-22
- 由“五點共圓”問題引發的猜想
點.求證：這五點共圓.”這就是著名的“五點共圓”問題.“五點共圓“問題用書面語言可表述為：任意一個五角星，在其五個小三角形上作出五個小三角形的外接圓，兩個相鄰圓各自交兩點，共有十個交點，除去星形本身的五個點，其余五個點必定是共圓的.目前最常見的證明方法如下：圖1證明：畫任意五角星，如圖1所示，△FQK、△KEL、△LDH、△HCM和△MBQ各自的外接圓順次相交的交點分別為J、I、A、N、G.連接CA、HA、JA、LA、NA、JH、NG、GQ、GJ、JF.根
中學數學雜志 2019年14期2019-08-31
- 高考中的四點共圓問題
為圓錐曲線與四點共圓相結合的高考題.由于試題難度大，知識面廣，因而同學們解答較困難.為攻克這一難點，幫助同學們掌握解析法證明四點共圓的方法，本文現以一道調研試題為例說明如下，供同學們復習時參考.題目：求證：兩橢圓b2x2+a2y2-a2b2=0和a2x2+b2y2-a2b2=0的交點在以原點為中心的圓周上，并求這個圓的方程.（2018年威海市高三教學調研試題）證法一：本題根據“相加法”得到一個圓方程，再說明四點共圓.b2x2+a2y2-a2b2=0?（1）
中學課程輔導·高考版 2019年6期2019-05-21
- 海峽兩岸共圓藝術夢想
近jìn日rì，南nán寧nínɡ市shì解jiě放fànɡ路lù小xiǎo學xué的de同tónɡ學xué們men與yǔ來lái自zì臺tái灣wān省shěnɡ花huā蓮lián縣xiàn康kānɡ樂lè小xiǎo學xué、嘉jiā里lǐ小xiǎo學xué的de小xiǎo朋pénɡ友you們men在zài新xīn會huì書shū院yuàn舉jǔ行xínɡ了le文wén化huà藝yì術shù交jiāo流liú活huó動dònɡ。解jiě放fànɡ路lù小
學苑創造·A版 2019年4期2019-05-10
- “探究四點共圓”課例的課堂實施
步接受并理解四點共圓問題。簡化學生的理解，降低學習難度是提高學生學習熱情和理解能力的關鍵。一、借助三角形的外接圓引入新課由于三角形是學生在以前數學學習過程中重點學習的一個圖形，相對比較簡單，而三角形的外接圓也是學生以前所接觸過的。教師可以繪制不同形狀的三角形，然后畫出其外接圓，引導學生進行初步思考。不論是銳角三角形、直角三角形，還是鈍角三角形，在繪制其外接圓的過程中都需要將三個頂點置于圓上，學生很容易發現這是三點共圓問題。為了更好地引出四點共圓，教師可以在
中學課程輔導·教學研究 2019年25期2019-04-07
- 陪位中線與陪位重心
、B、C、E四點共圓.證明因為AD是△ABC的陪位中線，?AB·AF=AC·AE，從而得到F、B、C、E四點共圓.圖3圖4性質3如圖4，AD為△ABC的陪位中線，M、N兩點分別在AC、AB上，若B、C、M、N四點共圓，則AD平分MN.[1]證明作DE∥BA，DF∥CA交AC、AB于E、F點，連結EF.由性質2知B、C、E、F四點共圓?∠AEF=∠ABC.作MS∥DE交AD于S，連結NS，由B、C、M、N四點共圓，有∠AMN=∠ABC；因為∠AMN=∠AEF
數學通報 2019年12期2019-02-11
- 挖掘教材知識，巧用四點共圓解難題
的定義，判定四點共圓到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上。例 1.如圖(1)，在等腰 Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于點 D，∠ABC 的平分線分別交AC、AD于E、F兩點，M為EF的中點，延長AM交BC于點N，連接DM，求∠BMD的度數。圖(1)如圖(2)，取AB的中點O，圖(2)連接 DO、MO，∴AO=BO=DO=MO，∴A、B、D、M 四點共圓，∴∠BMD=∠BAD=45°。我們發現，∠BMD所在的多邊形中，很難尋找出與它有關的角
中學課程輔導·教學研究 2018年25期2018-10-18
- 再探“等弧度三圓共點圖”*
中一個神奇的四點共圓”兩篇文章，給出了等弧度三圓共點圖的許多有趣性質.本文將繼續探究等弧度三圓共點圖并進一步揭示其內在的數學性質，給出一系列有趣的四點共圓.圖1 圖2文獻[1]揭示了“黃圓圖”中隱含的一個漂亮的四點共圓：性質1在“黃圓圖”中，點O1，O2，O3，D共圓.文獻[2]又給出性質1中的四點共圓存在一個美妙的性質：本文將繼續探究“等弧度三圓共點圖”中內在的性質，給出一系列有趣的四點共圓.圖3 圖4證明聯結MO1，NO1，O2D，O3D，MD，ND(
中學教研(數學) 2018年9期2018-09-07
- 圓錐曲線上四點共圓解決策略
圓錐曲線上的四點共圓問題提出兩種解決策略，一是利用共圓定理，二是利用曲線系【關鍵詞】圓錐曲線；共圓；曲線系一、圓錐曲線上四點共圓定理若A，B，C，D為有心圓錐曲線mx2+ny2=1（m≠n）上四個不同的點，且直線AB與CD交于E，AB與CD傾斜角分別為α，β，則A，B，C，D共圓的充要條件是α+β=π.證明設E（x0，y0），則直線AB參數方程為x=x0+tcosα，y=y0+tsinα （t為參數），代入mx2+ny2=1，并整理得（mcos2α+nsi
數學學習與研究 2018年12期2018-08-17
- 《數學通報》2305問題的證明及推廣
、B、C、D四點共圓．[1]拜讀本刊數學問題解答2305問題之后，引發了筆者深深思考，雖然題目條件中的有心圓錐曲線具有很強的一般性，但是對弦AB和直線CD的條件要求十分特殊，該問題背后是否存在一般規律呢？該結論對拋物線是否成立？帶著這些思考開啟了下面的探究之旅．一、問題的證明該問題所給的解答中，充分利用了“CD垂直平分AB”這一幾何特征，取CD的中點F(如圖1)，從而確定這四點共圓的充要條件是BF為圓的半徑，進而得出等價條件|CD|2-|AB|2=4|EF
中學數學研究(江西) 2017年5期2017-05-11
- 第32屆CMO平面幾何題探源
、Q、X、Y四點共圓．反之，設PQ是⊙O的任意一條直徑，且PQ所在直線與直線BC交于點T′，當P、Q、X、Y四點共圓(此圓設為⊙O″)時，由根心定理可知，⊙O與⊙O′的外公切線AT、⊙O′與⊙O″的公共弦XY所在直線以及⊙O與⊙O″的公共弦PQ所在直線交于點T(根心)，即點T′與點T重合．圖3如圖3(在圖2的基礎上)，過點T作⊙O的另一條切線TS(S為切點)，連結AS，交PQ于點E，交BC于點D，即知TO⊥AS于點E，從而知TE·TO=TA2=TB·TC，
中學數學研究(江西) 2017年5期2017-05-11
- “等弧度三圓共點圖”中一個神奇的四點共圓*
中一個神奇的四點共圓*●黃新民 (溫州市教育教學研究院 浙江溫州 325000)美麗的幾何圖形往往蘊含著諸多美妙的數學性質.通過構造一個“等弧度三圓共點圖”，已經證明其中存在一個美麗的四點共圓，文章將對這個四點共圓作進一步的研究，探索更多奇妙的性質.等弧度；三圓共點圖；四點共圓美麗的幾何圖形，往往蘊含著諸多美妙的數學性質，文獻[1]給出了“等弧度三圓共點圖”的諸多性質，下面是其中一個漂亮的性質：(注：性質1的證明參見文獻[1].)筆者深入研究性質1中的四點
中學教研(數學) 2017年3期2017-03-15
- “探究四點共圓”課例的課堂實施
葛存燕“探究四點共圓”課例的課堂實施☉江蘇蘇州市高新區實驗初級中學葛存燕近年來，《中學數學》（下）刊發了大量預設精妙的教學課例，引領一線教師聚焦課堂教學設計，追求高質量的備課設計.筆者受到文1的影響，通過自己的理解，制作出對應的PPT，執教了一節研討課，取得了較好的教學效果.本文梳理該課的教學流程，側重于截圖展示筆者的PPT流程，并跟進變式檢測，供研討.一、教學流程教學環節（一）作三角形的外接圓，引入新課.PPT截圖，如圖1：圖1 解讀：先呈現三種不同形狀
中學數學雜志 2017年2期2017-03-10
- 圓錐曲線上四點共圓充要條件的統一證明與應用
書圓錐曲線上四點共圓充要條件的統一證明與應用☉湖北省陽新縣高級中學 鄒生書圓錐曲線上四點共圓問題在高考中屢見不鮮，這類試題將圓錐曲線與四點共圓有機地結合在一起，重點考查運算求解能力和推理論證能力，由于問題綜合性強、運算量大，大多考生望而生畏，甚至談“圓”色變，不得不選擇放棄.筆者曾在文2中介紹了構建曲線系方程來處理圓錐曲線上四點共圓的有效方法，在文3中給出了圓錐曲線上四點共圓的一個充要條件，并用直線的參數方程分別對橢圓、雙曲線和拋物線三種情形一一進行了證明
中學數學雜志 2016年17期2017-01-12
- 直徑圖為11圈的7距離集研究
XD中的所有點都共圓，于是XD=R11，和XD是一個7距離集不符。下面分3種情形來證明。情形1XD的邊長均不為d5。如果XD有10條邊長度相等，那么它的所有點都在一個圓上，矛盾。于是XD最多有9條邊相等。情形1.1XD中有2條邊長度為d6或2條邊長度為d7(d6與d7討論類似，2條邊為d7的討論省略)。設XD中有2條邊長度為d6。假設d(1,11)=d6，下面分5種類型討論。如果d(10,11)=d6，顯然點1，2，3，4，5，6，7，8，9，10共圓。因
河北科技大學學報 2016年2期2016-05-11
- 給定距離數的有限點集直徑圖的研究
，k+1，k+2共圓，得到d(1，k－2)=d(1，k)=d(1，k+1)=d(1，k+2)=D，和已知矛盾，故d(k+1，k+2)=dk。假設d(1，2)=dk－1，由引理4可得d(1，3)=dk－2=d(2，5)，d(1，2)=d(3，5)=dk－1，Δ123?Δ532。于是1，2，3，5 共圓，從而d(1，k+2)=d(2，k+2)=d(3，k+2)=d(5，k+2)=D，矛盾。故d(1，2)=dk。d(k，k+2)=d(k－1，k+1)=dk－1，
河北科技大學學報 2015年2期2015-03-11
- 對2011年全國數學高考理科第21題的深入探究
——兼談圓錐曲線的一個統一性質
相交弦的4個端點共圓的充要條件是這2條相交弦的斜率互為相反數.(充分性)若kAC=-kBD，設直線AC的方程為mx+ny+c1=0,則BD的方程為mx-ny+c2=0.因為A,B,C,D是橢圓b2x2+a2y2-a2b2=0與2條相交直線AC,BD的交點，所以可設過點A,B,C,D的二次曲線系方程為:(mx+ny+c1)(mx-ny+c1)+λ(b2x2+a2y2-a2b2)=0(λ為參數),整理得(λb2+m2)x2+(λa2-n2)y2+m(c1+c2
中學教研(數學) 2011年11期2011-11-30
- 關于“點共圓”問題的普及
200)關于“點共圓”問題的普及●劉清泉(鎮海蛟川書院 浙江寧波 315200)“點共圓”是數學競賽中的一項重要內容，三角形、四邊形中的很多內容都與之關聯.但隨著新課程改革對邏輯推理要求的降低，特別是初中教材中對“點共圓”涉及的不多，在數學競賽中與“圓”相關內容的比例也在降低.此時,與“點共圓”的相關內容和相關方法更顯得重要.本文力求用幾個平面幾何中相關的定理知識將這一內容作一有機的整合.1 基礎知識如圖1～3，A，B，C，D四點共圓，得到如下3個結論:(
中學教研(數學) 2011年6期2011-11-21
- 一道平面幾何問題的另證
、C、D、F四點共圓，及AB∥CD，有∠BFC=∠BDC=∠ABD，∠CFD=∠CBD,所以，∠BFD∠ABC.又∠BDF=∠BCF=∠ACB，所以，△BDF∽△ACB.所以，BDAC=BFAB.同理△CDF∽△ECB，有CFBE=CDEC，由∠BAF=180°-∠BAC=180°-∠BEC=∠CED,及∠BFA=∠CDE,得：△ABF∽△ECD.∴BFCD=BACE，即BFBA=CDCE.∴BDAC=CFBE.∴BD?BE=AC?CF.證法二：如圖1，連
中學數學研究 2008年2期2008-12-10