“四大理念”下的教學構建
——以“探究四點共圓的條件”為例

江蘇南京市第十二初級中學（210000） 宋 璨

江蘇省特級教師王為峰提出了“四大理念”，即設定大目標，凝練大概念，用好大問題，形成大結構。“四大理念”強調的是培養學生的數學學科核心素養，樹立學生的數學觀念和數學研究意識。所謂大目標，就是對最大限度地發揮學科教學育人功能的預期，或者說是對學生學習取得最大成果的預期。凝練大概念，用好大問題，形成大結構是實現大目標的手段和過程。筆者曾有幸開設了一節區公開課，嘗試在“四大理念”下進行教學構建，現在整理成文，與大家交流。

一、教學內容及解析

（一）教學內容

四點共圓的條件的探究和證明。

（二）內容解析

四點共圓的條件是在學習了過一個點的圓、過兩個點的圓、過不在同一條直線上的三個點的圓、三角形與圓的關系、圓的內接四邊形后，對經過任意三點都不在同一條直線上的四點共圓的條件的探究。在學過“圓內接四邊形的對角互補”后，相應地，會產生這樣的疑問：對角互補的四邊形的四個頂點共圓嗎？探究四點共圓的條件是促進學生思維自然生長的需要，也是進一步在數學活動中培養學生數學學科核心素養的需要。

在四點共圓條件的探究過程中，通過對特殊四邊形（平行四邊形、矩形、等腰梯形、共斜邊的兩個直角三角形等）的探究，發現一般規律（過對角互補的四邊形的四個頂點能作一個圓），體現了由特殊到一般的思想。同時，從三點共圓入手探究四點共圓的條件，以及把四點共圓的證明轉化為點與圓的位置關系的證明，都體現了轉化的思想。學生經歷探究四點共圓的條件這一數學活動的全過程，在“做”和“思考”的過程中有效積累了數學活動經驗和形成了幾何直觀。

基于以上分析，確定本節課的教學重點是四點共圓條件的探究。

二、教學目標及解析

（一）教學目標

（1）理解過某個四邊形的四個頂點能作一個圓的條件；

（2）通過四點共圓條件的探究和猜想的證明，體會由特殊到一般、轉化等數學思想，積累數學活動經驗，發展幾何直觀能力。

（二）目標解析

實現目標（1）的標志：能通過畫圖操作，發現一般規律：過對角互補的四邊形的四個頂點能作一個圓，并能證明結論的正確性。

實現目標（2）的標志：能從三點共圓入手探究四點共圓的條件，并能通過對特殊四邊形的探究，發現一般規律：過對角互補的四邊形的四個頂點能作一個圓。在證明猜想的過程中，能將四點共圓的問題轉化為點與圓的位置關系去研究。

三、教學問題分析

對于四點共圓條件的證明，需要將四點共圓的問題轉化為點與圓的位置關系的問題，即第四個點在不在前三個點確定的圓上，再利用反證法去證明。學生雖然學過反證法，但應用較少，所以在證明時會存在一些困難。

本節課的教學難點是對角互補的四邊形的四個頂點共圓的證明。

四、教學過程

活動一：想一想。

問題1.過一點能作幾個圓？

問題2.過兩個點能作幾個圓？

問題3.過三個點呢？

問題4.接下來，你會提出什么問題？

設計意圖：從學生已有的知識經驗出發，提出問題，同時滲透將探究四點共圓問題轉化成三點共圓的問題，也就是第四個點在不在前三個點已經確定的圓上的問題，為后續猜想的證明做好鋪墊。

活動二：畫一畫。

問題1.經過什么樣的四個點可以作出一個圓，也就是過什么樣的四邊形的四個頂點可以作出一個圓？你準備用什么想法或者思路去解決這個問題？

問題2.你覺得過什么樣的四邊形的四個頂點能作出一個圓呢？分組畫一畫，試一試。

問題3.從小組長展示的研究成果中，你有什么發現？

師生活動：學生小組合作畫圖，畫出平行四邊形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、對直角四邊形，嘗試找圓心、半徑，作出圓。教師巡視，根據學生的不同方法、不同表達形式給予指導。

學生作圓時會出現幾種情況：（1）作兩邊的垂直平分線的交點，找到圓心，確定半徑，作圓，觀察第四個點在不在圓上，從而得到結果；（2）作三邊的垂直平分線，發現沒有交于同一點，找不到圓心，確定四點不共圓；（3）直接分析一些特殊的四邊形特征，如矩形的對角線交點即是圓心，繼而直接作出圓；（4）先作一個圓，再畫出一些特殊的內接四邊形。（如圖1）

圖1

設計意圖：讓學生學會利用特例去對問題進行研究，從特殊到一般，一步步接近探究目標，同時對利用“圓的內接四邊形對角互補”的逆命題作圖的學生給予肯定與鼓勵。在動手畫四邊形外接圓的過程中，學生會發現有的四邊形的四個頂點可以共圓，有的卻不行。在找圓心的過程中，學生體會到三個點已經確定了一個圓，四點能否共圓，只需看第四個點在不在前三個點已經確定的圓上，從而為后續反證法的應用做好鋪墊。

活動三：猜一猜。

問題1.我們把過四個頂點能作出一個圓的四邊形挑出來觀察一下，你覺得是哪些元素使得過四邊形的四個頂點能作出一個圓呢？

問題2.你覺得是什么決定了四邊形的四個頂點在一個圓上？為什么？

問題3.你有何猜想？

問題4.你能找一個圖形驗證一下這個猜想嗎？

問題5.你覺得證明四個點在不在一個圓上的關鍵是什么？

問題6.特殊圖形成立能說明猜想成立嗎？我們接下來要做什么？

師生活動：學生排除非共性特征，找到共性特征，從而得到猜想，再以矩形或者對直角四邊形為例來驗證猜想。在驗證猜想的過程中，讓學生強化如何利用圓的定義來證明四點在一個圓上，體會找到定點是關鍵。同時，學生也意識到從特殊圖形引發猜想后要進行一般圖形的證明。

活動四：證一證。

已知：如圖2，在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°。

圖2

求證：過點A、B、C、D可作一個圓。

問題1：證明“對角互補的四邊形的四個頂點在一個圓上”這個文字命題，要先做什么？

問題2：如何證明A、B、C、D四個點在一個圓上？你有什么想法？

問題3：你能證明嗎？

問題4：如果利用圓的定義無法直接證明，還有沒有其他方法？

分析：假設A、B、C、D四點不在同一個圓上，即假設第四個點D不在過A、B、C三點的圓上。過A、B、C三點作出圓O，假設點D在圓O內，延長AD交圓O于E，連接CE（如圖3），則∠B+∠E=180°。

圖3

又∵∠ADC是△CDE的外角，

則∠ADC＞∠E，

∴∠B+∠ADC＞180°，

這與∠B+∠ADC=180°矛盾，

所以點D不在圓O內。

同理，點D不在圓O外。

綜上，點D不在圓O內，也不在圓O外，故點D在圓O上，則A、B、C、D四點共圓。

活動五：用一用。

問題1.如圖4所示，已知∠A=∠D，你能證明A、B、C、D四點共圓嗎？

圖4

問題2.你能用結論“對角互補的四邊形四點共圓”來證明嗎？

方法一：反證法。

分析：過A、B、C三點作出圓O，分別假設點D在圓O內或圓O外（如圖5），推出矛盾，從而假設不成立，點D在圓O上。

圖5

圖6

方法二：利用“對角互補的四邊形的四個頂點共圓”來證明。

證明：如圖6，過A、B、C三點作出圓O，在圓O上取點E，連接BE、CE。

∵點A、B、E、C在圓O上，

∴∠A+∠E=180°，

又∵∠A=∠D，

∴∠D+∠E=180°。

∴點D、B、E、C四點共圓，

即點D也在圓O上，

∴A、B、C、D四點共圓。

五、教學思考

（一）重視活動經驗積累，培養數學核心素養

蘇科版教材中并沒有“探究四點共圓的條件”這一課，但是在學習“不在同一條直線上的三點確定一個圓”后，學生積累了豐富的數學活動經驗。

（1）構建了經過已知點作圓的探索思路，從“經過一個點作圓”“經過兩個點作圓”到“經過三個點作圓”，逐漸增加點的個數，分別進行探究；

（2）明確了作圓需要圓心和半徑，從而確定圓的位置和大小；

（3）“經過三個點作圓”需要建立在“三點不在同一條直線上”的前提條件下，這在一定程度上體現了分類討論思想；

（4）具有一定的邏輯推理能力，針對“經過同一條直線上的三個點不能作出一個圓”，能應用反證法進行證明。

積累這些數學活動經驗后，有的學生自然而然地思考有關四點共圓條件的問題，尤其是在學習“圓內接四邊形的對角互補”后，有的學生開始產生疑問：對角互補的四邊形的四個頂點是否也是共圓的呢？選擇此課題，是學生思維自然生長的需要，有利于培養學生的數學學科核心素養。

（二）通過數學探究，關注數學素養形成

本節課通過五個教學環節的設計，生成的不僅是四點共圓的條件，而且讓學生體會到了研究圖形的性質就是研究其構成要素或其相關要素之間所具有的位置關系或數量關系。還有從特殊到一般的研究問題思路，將未知問題轉化為已知問題的研究方法，運用“觀察—猜想—證明”得到一些新的數學結論的過程，這些方面對學生創新意識的培養和推理能力的提升都有非常重要的作用。

（三）問題是思維的源泉，更是思維的動力

當圍繞大目標提煉出大概念后，就可以在大概念的引領下提出大問題。大問題可以從兩個方面去認識，一是按照問題從大到小的順序進行啟發提問，二是提出能夠觸及數學本質的問題。如本節課先后提四個主要問題：通過四邊形四個頂點作圓的結果如何？如何判斷這四個點共圓或不共圓？如何證明你的猜想？你能用所學知識判斷四個點在圓上嗎？

（四）基于認知沖突與問題解決，設計學生活動

本節課的研究內容既是“過三點的圓”的延續和拓展，又是“圓內接四邊形性質”的逆向思維的發展。本節課設計了“想一想”“畫一畫”“猜一猜”“證一證”“用一用”等活動，喚醒學生已有的知識經驗，引導學生構建探究的基本思路，讓學生體驗數學發現的一般過程，感悟數學思想方法的獨特精妙，發展學生應用與創新的學科素養。

（五）“四大理念”下的教學改進

（1）畫一畫。從提供部分特殊圖形到不提供任何圖形，讓學生完全自主作圖。

（2）猜一猜。從有人答出一種猜想即可到鼓勵學生思維多元化，引導學生從特殊圖形、逆命題等多角度提出猜想。

（3）想一想。在證明四點共圓的條件時，學生會基于已有知識經驗，選擇用圓的定義去證明。教學設計從起初給學生搭梯子，提示用反證法，改為不做提示，讓學生的思維自然生長。