圓錐曲線上四點共圓解決策略

陽友雄

【摘要】圓錐曲線一直是高考的熱點問題，本文針對圓錐曲線上的四點共圓問題提出兩種解決策略，一是利用共圓定理，二是利用曲線系

【關鍵詞】圓錐曲線；共圓；曲線系

一、圓錐曲線上四點共圓定理

若A，B，C，D為有心圓錐曲線mx2+ny2=1（m≠n）上四個不同的點，且直線AB與CD交于E，AB與CD傾斜角分別為α，β，則A，B，C，D共圓的充要條件是α+β=π.

證明設E（x0，y0），則直線AB參數方程為

x=x0+tcosα，y=y0+tsinα （t為參數），代入mx2+ny2=1，

并整理得（mcos2α+nsin2α）t2+2（mx0cosα+ny0sinα）t+（mx20+ny20-1）=0，

則EA·EB=|t1t2|=mx20+ny20-1mcos2α+nsin2α，

同理得EC·ED=mx20+ny20-1mcos2β+nsin2β.

因為A，B，C，D四點共圓的充要條件是EA·EB=EC·ED，

所以mcos2α+nsin2α=mcos2β+nsin2β，

即m+（n-m）sin2α=m+（n-m）sin2β.

因為m≠n，所以sin2α=sin2β，又α，β∈[0，π），

所以sinα=sinβ.

而直線AB與CD相交，所以α≠β，

由sinα=sinβα+β=π.

綜上所述，A，B，C，D四點共圓的充要條件是α+β=π，即AB與CD斜率互為相反數.

二、圓錐曲線上四點共圓定理的應用

例1（2011年全國高考卷2理科第21題）已知O為坐標原點，F為橢圓C：x2+y22=1在y軸正半軸上的焦點，過F且斜率為-2的直線l與C交于A，B兩點，P-22，-1關于O的對稱點為Q，求證：A，P，B，Q四點共圓.

證明由P點坐標可知點P在橢 圓C′上，則點Q也在橢圓C′上.因為P，O，Q三點共線，故得PQ的方程為y=2x，又AB的方程為y=-2x+1，兩直線斜率互為相反數，即兩直線傾斜角互補，根據定理可知A，P，B，Q四點共圓.

例2（2016年高考四川卷文科第20題）已知橢圓x24+y2=1，過原點O且斜率為12的直線l交橢圓于不同兩點A，B，線段AB中點為M，直線OM與橢圓交于C，D.

求證：MA·MB=MC·MD.

證明設直線l的方程為y=12x+m，代入橢圓方程整理得x2+2mx+（2m2-2）=0，則xA+xB=-2m，因為M為線段AB的中點，所以xM=xA+xB2=-m，故yM=12m，所以M-m，12m，故直線OM的方程為y=-12x，故直線AB與CD的斜率互為相反數.

根據共圓定理得A，B，C，D四點共圓，根據相交弦定理得MA·MB=MC·MD.

三、利用曲線系解決圓錐曲線四點共圓問題

我們利用曲線系解決例1中的問題

（2011年全國高考卷2理科第21題）已知O為坐標原點，F為橢圓C：x2+y22=1在y軸正半軸上的焦點，過F且斜率為-2的直線l與C交于A，B兩點，P-22，-1關于O的對稱點為Q，求證：A，P，B，Q四點共圓.

證明首先易得直線PQ的方程為y=2x，又直線AB的方程為y=-2x+1，所以直線AB與PQ可合并為（2x+y-1）（2x-y）=0，又橢圓方程為2x2+y2-2=0，

故過A，P，B，Q的二次曲線系方程為（2x+y-1）（2x-y）+λ（2x2+y2-2）=0，

整理得（2λ+2）x2+（λ-1）y2-2x+y-2λ=0，（*）

方程（*）若表示圓，則必有2λ+2=λ-1λ=-3，

此時方程（*）為4x2+4y2+2x-y-6=0，

即x+282+y-182=9964，

所以A，P，B，Q四點在同一個圓x+282+y-182=9964上.