由“五點共圓”問題引發的猜想

☉海南省海南中學 何佳譯

☉海南省海南中學 屈 韜

2000年12月20日下午，江澤民同志視察澳門濠江中學.在與教師座談時，江澤民同志說：“我高中畢業參加高考時的一道幾何題，至今印象深刻.”隨后江澤民同志拿過一張白紙畫了個五角星，邊畫邊說：“假設：任意一個星形，五個三角形，外接圓交于五點.求證：這五點共圓.”這就是著名的“五點共圓”問題.

“五點共圓“問題用書面語言可表述為：任意一個五角星，在其五個小三角形上作出五個小三角形的外接圓，兩個相鄰圓各自交兩點，共有十個交點，除去星形本身的五個點，其余五個點必定是共圓的.目前最常見的證明方法如下：

圖1

證明：畫任意五角星，如圖1所示，△FQK、△KEL、△LDH、△HCM和△MBQ各自的外接圓順次相交的交點分別為J、I、A、N、G.

連接CA、HA、JA、LA、NA、JH、NG、GQ、GJ、JF.

根據圓周角定理和圓內接四邊形的性質定理可知：

∠FCA+∠FLA=∠AHD+∠FLA=∠ALD+∠FLA=180°.

則F、L、A、C四點共圓.

同理，F、J、L、C四點共圓，從而F、J、A、C四點共圓.

則180°-∠FJA=∠FCA=∠MCA.（注：此處的小技巧好多學生想不到）

又∠MNA=∠MCA，∠GNM=180°-∠GQM=∠GQF=∠GJF，則∠GNA=∠GNM+∠MNA=∠GJF+（180°-∠FJA）.

則∠GNA+∠GJA=∠GJF+（180°-∠FJA）+∠GJA=180°.

故J、G、N、A四點共圓.

同理可證I、G、N、A四點共圓.

則J、I、A、N、G五點共圓.

上述證明思路為：要證J、I、A、N、G五點共圓→只需證J、G、N、A四點共圓和I、G、N、A四點共圓→由于二者同理可證→只需證J、G、N、A四點共圓→通過圓周角定理和圓內接四邊形的性質定理轉換成證F、L、A、C四點共圓.

在上述證明過程中，直線EB上的點我們一個都沒用到，如果我們去掉直線EB會是什么結果呢？去掉直線EB，我們得到圖2：

圖2

圖2中每三條相交直線構成一個三角形，共有△DHL、△CMH、△CFL、△DMF四個三角形，△DHL和△CMH的外接圓交于點A、H.

由“五點共圓”問題的證明可知F、L、A、C四點共圓，同理可知F、D、A、M共圓，且△DHL、△CMH、△CFL、△DMF的外接圓交于點A.因此我們可以得到圖3：

圖2

圖3

在“五點共圓”問題中，五個小三角形的外接圓，兩個相鄰圓各自交兩點，如點A和點H，共圓的為點A，而非點H.我們知道五角星是由兩兩相交且任意三條都不共點的五條直線相交后構成的，結合圖3，可以將“五點共圓”問題簡化表述為：平面內有兩兩相交，且任意三條直線都不共點的五條直線，其中每四條作為一組可確定一個“四圓共點”的點，共有五個這樣的點，這五個點共圓.

圖4

如果在圖3中再去掉直線DM，可得到圖4：

圖4中△CFL有一個外接圓，換句話說就是F、L、C三點共圓.

那么圖3中的問題可以表述為：平面內有兩兩相交，且任意三條直線都不共點的四條直線，其中每三條為一組可以確定一個圓，共有四個這樣的圓，這四個圓共點.

順著這樣的思路筆者猜想：

如果在圖1的基礎上再增加一條直線，得到六條兩兩相交且任意三條都不共點的直線，那么這六條相交直線每五條一組構成一個“五點共圓”，共有六個“五點共圓”，這六個“五點共圓”共點.

再增加一條直線的話，得到七條兩兩相交且任意三條都不共點的直線，那么這七條相交直線每六條一組有一個“六圓共點”的點，共有七個這樣的點，這七個點共圓.

…………

推而廣之，筆者猜想：

平面內有兩兩相交，且任意三條直線都不共點的n條直線：

當n為大于2的偶數時，n-1條直線可確定一個圓，共有n個圓，這n個圓共點；

當n為大于3的奇數時，其中每n-1條直線可確定一個“n-1圓共點”的點，共有n個這樣的點，這n個點共圓.

筆者曾嘗試證明n=6時的情形，圖形復雜到在一張A4紙上都難以畫出，因此更談不上證明，而證明上述猜想更是超出了筆者的知識范圍，希望有“大家”能證明這個猜想正確或錯誤.