初中幾何折疊問題探究教學的實踐與研究

☉江蘇省清江中學 張紹俊

折疊問題是中考常考題型，主要考查考生的空間想象能力、動手操作能力、說理計算能力等綜合素養.從近幾年中考命題看，這類問題著眼點日趨靈活，能力立意逐年加強.因而成為學生應試的痛點與難點.在數學中考復習階段，探究課應該成為數學復習的常態課.那么，初中幾何折疊問題的復習探究課如何上呢？筆者結合教學實踐談談自己的看法，供大家參考，并提出寶貴意見.

一、幾何折疊問題復習探究課的設計

1.引出問題

問題是數學的心臟，復習探究課也不例外.那么，問題來源于何處？筆者認為，問題應來源于課本或最新中考題，應具有典型性.通過典型問題的解決讓學生感悟這種題型的特點，感悟這類問題的基本解法.例如：

引題1：（選自新課標人教版數學八年級下學期P126）折紙做30°、60°、15°的角，對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平，再次折疊紙片，使點A落在折痕EF上的點N處，并使折痕經過點B得到折痕BM，同時得到線段BN，觀察所得到的∠ABM、∠MBN和∠NBC，這三個角有什么關系？

圖1

引題2：（2018·四川涼州）如圖1，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，使點C落在點C′處，BC′交AD于點E，則下列結論不一定成立的是（ ）.

A.AD=BC′

B.∠EBD=∠EDB

通過以上兩個問題，引導學生感悟折疊問題的實質就是軸對稱的實際應用，對稱軸就是折痕所在的直線，折疊前后的圖形是重合的，因而它們全等，于是出現了對應邊、對應角分別相等.

2.發現問題

上述兩個問題，是本節探究課的導火索，后續問題又從哪里來？我認為應來自學生.當然，不是讓他們自己編題，而是根據這類問題的特點找題，為了避免他們找題的盲目性，增強合作探究的意識，可以分學習小組合作完成.可以讓學生上網查詢，也可以讓學生查閱資料，進行開放式教學，真正做到開卷有益.

例如，有一組學生經過上網查詢，翻閱資料，找到了如下問題：

問題1：如圖2，將矩形ABCD（紙片）折疊，使點B與AD邊上的點K重合，EG為折痕；點C與AD邊上的點K重合，FH為折痕.已知，則BC的長為_____.

圖2

圖3

問題2：如圖3，將矩形ABCD沿EF折疊，使點B落在AD邊上的點G處，點C落在點H處，已知∠DGH=30°，連接BG，則∠AGB=___________.

問題3：在矩形ABCD中，AB=12，P是邊AB上一點，把△PBC沿直線PC折疊，頂點B的對應點是點G，過點B作BE⊥CG，垂足為點E且在AD上，BE交PC于點F.

（2）如圖5，①求證：BP=BF；

②當AD=25，且AE＜DE時，求cos∠PCB的值；

③當BP=9時，求BE·EF的值.

圖4

圖5

3.解決問題

學生發現問題，是探究性復習的第一步，而解決問題才是根本，既然問題是學生提出的，教師應讓學生自主完成，讓每一個學生小組展示風采，合作完成問題的解決過程.在展示過程中，實現資源共享、共同提高的教學目的.

例如，對于上述三個問題中的問題1，學生在合作探究后，又分工合作如下講評：

生1：（分析）由題意知∠3=180°-2∠1=45°，∠4=180°-2∠2=30°，BE=KE，KF=FC，作KM⊥BC.設KM=x，可知EM=x，MF=x.根據EF的長求得x=1，再進一步求解可得.

生2：（解答）根據題圖與已知條件，∠3=180°-2∠1=45°，∠4=180°-2∠2=30°，BE=KE，KF=FC.如圖6，過點K作KM⊥BC于點M，設KM=x，則EM=x，，所以，解得x=1，所以，KF=2，BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=.所以BC的長為

圖6

生3：（感悟）解答本題的關鍵是利用折疊變換的性質，即折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等.同時注意數形結合思想和方程思想的應用，這類幾何計算題，往往可以借助列方程來解決，也就是說幾何問題代數化.

師：剛才這組同學回答得十分精彩！大家鼓掌！（學生熱情鼓掌）他們提供的題目都是以長方形為背景，都是些經典的好題！同學們在解題時請注意以下幾點：

第一，折疊問題是一類常見的幾何探究性開放題，在三角形、四邊形和圓中都可能出現，解決這類問題的根本方法是利用對稱軸的性質.我們要根據軸對稱的性質去圖形中找出折疊前后哪些量發生了變化，哪些量沒有發生任何改變，再利用幾何知識（如三角形的全等、相似）和代數知識（如函數、方程）建立有關線段、角之間的聯系.

第二，折疊圖形一定會產生軸對稱，就會出現相等的線段和角，為了解題方便，我們通常把它們集中在一起.當題目中含有直角時，我們可將條件集中到較小的直角三角形中，再利用勾股定理求解.

第三，矩形中的折疊問題，往往可依據折疊性質與平行線性質，求出有關角的度數，也可以依據折疊性質和勾股定理，求出線段長度.

第四，當幾何圖形中出現“折疊”二字時，我們應該馬上想到圖中一定存在一組全等圖形，從而快速找出與題目有關的相等的量.

師：今天的探究課同學們配合得十分默契，體現了互相幫助、共同提高的合作精神.希望大家一如既往地堅持下去！今天的作業，就是請大家選擇課上沒有交流的3～4個繼續探究完成！

（鈴聲響起，教師宣布下課）

二、關于探究性復習課的幾點感想

感想1：探究性復習課的教學模式怎樣實施？

中國式教學往往限制在課堂上，而要想讓學生真正嘗到探究的甜頭，必須讓他們走出課堂，走向學校的圖書館和電子閱覽室，在脫離教師監控后，如何實施？筆者認為，完全可以讓學生自己管自己，因為這樣做更能體現探究性復習的自主性.當學生查到相關題目后，由學習小組選派代表進行交流，其步驟如下：

第一步：公布本組找到的折疊問題的實例，一般3～4例即可；

第二步：擇其中1例進行剖析并解答；

第三步：歸納解題方法和解后反思，允許同組成員適當補充；

第四步：教師加以適當點評，并鼓勵學生，讓學生獲得成就感；

最后，教師要求學生在大家提供的題目中選擇3～4個作為本節課的作業.

感想2：探究性復習課中，教師應扮演什么樣的角色？

探究性復習課更能體現學生的主體性，教師把探究權完全交給學生，讓學生頓生“我的地盤我做主”的感覺，從而激發他們探究的熱情，感受探究的成果與樂趣.在這當中，教師不是放任不管，教師不僅要善于放，更要善于收，這就給教師提出了更高的要求，同時更能體現出教師的主導地位.探究內容是由教師定的，教師是組織者，而當學生遇到問題時，教師就是指導者，尤其是對問題認識的高度，離不開教師的悉心指教.教師應信任學生，但不可放任學生.

感想3：中考探究性復習課的適用范圍有哪些？

雖然探究性復習課能讓學生自由發展，展示個性與才能，但并不是每一節復習課都適宜搞探究性復習，如基礎知識的回顧；從另一個角度講，如果天天如此，學生也會乏味.筆者認為，探究性復習課型以習題課為主，以中考探究性問題為切入點，教師必須精心安排與組織，不可走過場，否則會起到負作用.因為任何事物都有兩面性，只有把握恰當，才能讓探究性復習課發揮效益.