“探究四點共圓”課例的課堂實施

胡傳和

受到自身思維局限性，很多學生容易出現理解不全面的問題，造成相關學習問題出現。結合學生的數學知識掌握情況，采取相對應的解決策略是非常有必要的。從相對應的課堂導入設計、課堂知識講解等各個環節入手，完成相關內容的講解，需要教師不斷進行教學創新，采取由簡到難的教學過程，使學生逐步接受并理解四點共圓問題。簡化學生的理解，降低學習難度是提高學生學習熱情和理解能力的關鍵。

一、借助三角形的外接圓引入新課

由于三角形是學生在以前數學學習過程中重點學習的一個圖形，相對比較簡單，而三角形的外接圓也是學生以前所接觸過的。教師可以繪制不同形狀的三角形，然后畫出其外接圓，引導學生進行初步思考。不論是銳角三角形、直角三角形，還是鈍角三角形，在繪制其外接圓的過程中都需要將三個頂點置于圓上，學生很容易發現這是三點共圓問題。為了更好地引出四點共圓，教師可以在圓上任意添加一個點，此時圓上就有了四個點，而如果將新添加的這個點與原有三角形的兩點相連，圓內則出現一個不規則的四邊形。這個四邊形的形狀具有多樣化的特征，在不同的三角形和不同位置添加點的情況下，四邊形的形狀是有差異的。但是通過直觀的觀察，學生也很容易得到這個四邊形的四個頂點都在圓上這一現象，即對四點共圓問題產生初步認識。例如教師可以引導學生先在紙上繪制三角形，然后畫出三角形的外接圓，通過添加新的一點，連接新點與三角形，將原來的三角形轉變成為不規則的四邊形，從而讓學生對四點共圓問題有初步了解，采取由易到難的形式，使學生認識到四點共圓問題的存在。

二、證明四點共圓

當學生對四點共圓問題有初步了解之后，教師可以通過例題的形式使學生對其有進一步認識，即教師可以列舉相關題目，與學生共同完成四點共圓的證明問題。為了證明四點是否共圓，需要學生調動以前所學習過的相關幾何知識，包括三角形的相關定理以及具體圖形的相關內容。要引導學生證明四點共圓問題，教師可以發揮自身的引導性作用，通過設置問題的形式，啟發學生從三角形自身的定理和性質出發，然后通過反證法，根據所學幾何知識證明假設與已知條件矛盾，從而得出四點共圓這一結論，或其他證明方法正向證明。例如教師給出某一題目要求與具體圖形，引導學生按照“把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補角的內對角時，即可肯定這四點共圓”這一原理完成證明過程。

三、驗證四點共圓

當學生能夠通過相關數學證明方法，結合自己所學的幾何知識，證明某四點式共圓這一知識之后，教師應該組織學生從更高的角度來發現四點共圓問題，培養學生的數學思維，這也是探究四點共圓知識講解過程中的重要內容。教師可以借助多媒體，利用PPT 的形式展示出相關圖形，使學生有更加直觀的認識。同時在具體內容的講解過程中，教師也要注意啟發學生，發揮學生作為學習主體的主觀能動性，不要把所有的內容都由自己講解。PPT 的形式比較直觀，在觀察的過程中，學生容易找到如何驗證某四個點是否是共圓的這一問題。例如教師可以組織學生參與實訓來驗證四點共圓，根據已經條件，學生明確四點的位置信息，如果能夠從被證共圓的四點中先選出三點作一圓，然后證另一點也在這個圓周上，就可以證明四點共圓。教師可以組織學生運用自己的圓規等數學工具，做出規范性強的圓，然后再運用基礎幾何知識證明。

四、課堂小結與啟發思考

在課堂導入、課堂知識講解完畢之后，學生對于四點共圓認識更加準確，對于如何進行四點共圓的證明也有了進一步了解。此時，教師需要進行課堂小結，通過小結的形式將本節課的知識點串接起來，使學生有全面概括性的認識。除此之外，結合學生數學能力提升和數學思維拓展的教學目標，教師也可以設置相對應的啟發性問題來啟發學生進行思考，使學生對如何證明多點共圓的方法及其應用有更加深刻的印象。比如，從圓的定義出發，證各點都與某一定點的距離相等；如果是證四點共圓，也可以先任意選出三點作一圓，然后證另一點也在該圓上；如果各點都在某兩點所在直線的同側，且各點對這兩點的“張角”(其實是同弧所對的圓周角相等逆向使用)相等，那么這些點共圓；若能證明其對角互補或證明其一外角等于其鄰補角的內對角，即可肯定這四點共圓；證明五個或五個以上的點共圓，可以分別證各四點共圓，且四點中有三點相同。

四點共圓問題是學生在學習與圓相關知識過程中需要掌握的一部分內容，通過這部分內容的學習，學生一方面可以溫習自己以前所學習過的幾何知識，另一方面在探究過程中，學生的數學思維也可以得以提升和拓展。對于學生在具體探究過程所出現的問題，教師應該結合知識點自身的情況，采取相對應的對策，避免學生由于知識性內容理解錯誤所產生的各種學習問題。