《數(shù)學(xué)通報(bào)》2305問題的證明及推廣

張留杰 宋其云

北京市陳經(jīng)綸中學(xué) (100020)

《數(shù)學(xué)通報(bào)》2305問題的證明及推廣

張留杰 宋其云

北京市陳經(jīng)綸中學(xué) (100020)

2305問題AB是圓錐曲線mx2+ny2=1的斜率等于1的弦，AB的垂直平分線與該圓錐曲線交于點(diǎn)C、D，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓．[1]

拜讀本刊數(shù)學(xué)問題解答2305問題之后，引發(fā)了筆者深深思考，雖然題目條件中的有心圓錐曲線具有很強(qiáng)的一般性，但是對(duì)弦AB和直線CD的條件要求十分特殊，該問題背后是否存在一般規(guī)律呢？該結(jié)論對(duì)拋物線是否成立？帶著這些思考開啟了下面的探究之旅．

一、問題的證明

該問題所給的解答中，充分利用了“CD垂直平分AB”這一幾何特征，取CD的中點(diǎn)F(如圖1)，從而確定這四點(diǎn)共圓的充要條件是BF為圓的半徑，進(jìn)而得出等價(jià)條件|CD|2-|AB|2=4|EF|2，然后用解析法證明該等式，凸顯了解析幾何的本質(zhì)，即用代數(shù)的方法解決幾何問題．

圖1

如果不添加輔助線，設(shè)AB與CD的交點(diǎn)為E，直接證明|EA|·|EB|=|EC|·|ED|，能夠回避求線段長(zhǎng)度的繁瑣過程，會(huì)顯得更加簡(jiǎn)捷．

證明：設(shè)E(x0,y0)，直線AB的方程為y=x+t，則y0=x0+t，因?yàn)镃D⊥AB，則直線CD的方程為y-y0=-(x-x0)，即y=-x+2x0+t．

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4)，

=|EC|·|ED|，所以A、B、C、D四點(diǎn)共圓．

二、問題的推廣

根據(jù)上述證明過程，筆者發(fā)現(xiàn)“點(diǎn)E是AB中點(diǎn)”這一條件可以省去，然后根據(jù)有心圓錐曲線的對(duì)稱性，可以得出如下結(jié)論：

結(jié)論1AB是圓錐曲線mx2+ny2=1的斜率為k的弦，若|k|=1，垂直于直線AB的直線l與圓錐曲線交于點(diǎn)C、D，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓．

波利亞在《怎樣解題》中指出“數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是一半，而更重要的是解題之后的回顧與反思．”再次回顧該問題，總感覺還有更一般性的規(guī)律，究竟由哪個(gè)條件進(jìn)行引申推廣呢？經(jīng)過一番思考，決定從AB和CD的斜率或傾斜角進(jìn)行探究．

命題1 若A、B、C、D為有心圓錐曲線mx2+ny2=1(m≠n)上四個(gè)不同的點(diǎn)，且直線AB與直線CD相交于點(diǎn)E，α、β分別為直線AB、CD的傾斜角，試探究當(dāng)A、B、C、D四點(diǎn)共圓時(shí)，α與β的關(guān)系．

結(jié)論2 若A、B、C、D為有心圓錐曲線mx2+ny2=1(m≠n)上四個(gè)不同的點(diǎn)，且直線AB與直線CD相交于點(diǎn)E，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓的充要條件是直線AB與CD的傾斜角互補(bǔ)．

類似地，也很容易將該結(jié)論推廣到拋物線中．

所以根據(jù)2305問題我們可以得出圓錐曲線上四點(diǎn)共圓的一個(gè)重要定理，凸顯了該問題背后深刻的內(nèi)涵和其使用價(jià)值．

定理A、B、C、D為圓錐曲線W上四個(gè)不同的點(diǎn)，且直線AB與直線CD相交于點(diǎn)E，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓的充要條件是直線AB與CD的傾斜角互補(bǔ)．

[1]張國坤.數(shù)學(xué)問題解答2305題[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2016.6.