一道高三月考題的解法分析

熊康松

湖北省武漢市黃陂區漢口北高級中學 (430300)

一道高三月考題的解法分析

熊康松

湖北省武漢市黃陂區漢口北高級中學 (430300)

每年全國各地的高考和調考試題，總會推出一些背景新穎，構思精巧，具有相當深度和明確導向的創新試題，這些試題知識面廣，切入點多，征服這些試題既充滿樂趣，更需要智慧和勇氣．

這是武漢市黃陂區第一中學2017屆高三12月月考理科第10題，是一道約束條件下，多元函數的最值(范圍)問題，屬于創新試題，題目短小精悍，簡潔有力，考察了“基本不等式”“放縮法”“構造法”等基本知識和方法，考察學生對含多個字母式子的變形能力、靈活運用不等式知識解決問題的能力、以及邏輯推理能力．從考試結果來看，學生得分率極低，解法值得研究．下面給出筆者的一些思考：

法1：(排除法)由于是選擇題，“小題不能大做”，解題時若結合備選答案，靈活運用“排除法”“特例法”“代入法”“極限法”“估值法”等解題策略可達到事半功倍的效果．

法2：(放縮法)放縮法是求解和證明不等式問題最常見和最重要的方法，放縮得好，解題往往簡潔明了，本題中三角形的三邊需滿足三邊關系x+y>z，y+z>x，z+x>y，應用這一條件放縮，是解題的關鍵．

法3:(換元法)若x,y,z為三角形的三條邊，則令x=a+b，y=b+c，z=a+c(a>0,b>0,c>0)，這是一種重要的換元方法(其中a,b,c表示三角形各頂點到三角形內切圓各切點的切線長)．

法4：(主元法)含有多個變量的函數，可以將其中某個變量當做“元”，其它變量看作常數，將問題轉化為一元函數來研究，這是一種通法.

點評：先將函數的自變量看作x，把y,z當作常數，借助單調性在求出g(x)的下界確為g(y+z)后，再來研究式子g(y+z)的范圍，此時再將y,z看作變量，這樣就達到了將難點分步化解，各個擊破的目的，解題過程中讓變量“先靜再動”，體現了“以靜制動”的策略．

本題的后三種方法看似容易，其實不然，解題中我們要反思：為什么要這樣做？不這樣做不行嗎？還有沒有更加簡單的解法？這或許是很值得進一步思考的問題，要知道，我思故我在，且行且思，任何看似偶然的技巧背后，都有其必然．