例析極限思想在高中數學解題中的應用

汪仁林

陜西省咸陽市乾縣楊漢中學 (713300)

例析極限思想在高中數學解題中的應用

汪仁林

陜西省咸陽市乾縣楊漢中學 (713300)

極限思想是高中數學中重要的數學思想，它使人們能夠從有限認識無限，從近似認識精確，從量變認識質變．雖然目前高中教材沒有給出極限的嚴格定義，但無論是教材內容還是習題解答都大量地應用著極限思想.極限作為一種運算在高中數學中的要求較低,一般只要理解即可,然而高中學習極限思想一方面能鍛煉學生的思維能力，提高解題水平，另一方面為以后高等數學的學習做鋪墊.本文對極限思想在高中數學解題中的應用作些探討.

1.教學中如何引導學生掌握簡單的極限運算

①若x→a時，f(x)→0且g(x)→0，則

②若x→a時，f(x)→∞且g(x)→∞，則

2.極限思想應用實例剖析

(1)求點M軌跡C的方程；

(2)若過點D(2,0)的直線l與(1 )中的軌跡C交于不同的兩點E,F(E在D,F之間)，試求ΔODE與ΔODF面積之比的取值范圍(O為坐標原點).

圖1

評析:此題第(2)問一般思路是：設直線方程，將面積之比轉化為E,F兩點縱坐標之比或橫坐標的表達式，將直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理和“設而不求”的思想，最終轉化為函數求值域，運算量很大，看似簡單，容易入手，學生最終完成需要較強的觀察能力、化歸轉化思想且對學生的運算能力有較高的要求.比較可知，用極限思想非常簡便，其實這種思路的獲得途徑也是很直接的，將比值的范圍轉化為分別求分子分母的最值，用極限思想求解.說明在平時做題時不能僅憑經驗，只要認真審題，把未知問題化歸轉化為我們熟悉的問題，從多角度思考，就能少走彎路，起到事半功倍的效果！

因為φ′(x)=

評析:對比考題標準答案可知，此種解法的優越感不言而喻.考題標準解答技巧性強，略顯突兀，學生普遍反映能看懂但想不到,而且將問題轉化為含參數的函數求最值，分類目標不明確，較難處理. 本解法的優點是：分類討論目標非常明確，思路清晰；將問題轉化為不含參數的函數求最值，非常方便；通過分離參數、構造函數、二次求導，再借助洛比達法則使問題輕松獲解，容易理解和掌握. 可操作性強，深受學生青睞！

通過以上的分析，我們能夠感受到極限思想對有些問題的解決是不可或缺的.同時，極限思想的合理且有效應用也能反映出學生在個性化處理中的不同理解，以及他們所反映出來的不同層次、不同深度的理性思維水平.所以中學數學教學應該在培養極限思想、掌握極限方法等方面做一些研究，這樣就更有利于高校選拔，更有利于學生的成長并影響著其未來的發展.

[1]趙文濤，汪仁林.洛比達法則該不該教?——對一道高考題的困惑[J].中學數學研究(江西)，2014(06).

*本文是陜西省教育科學規劃課題《高中生數學“懂而不會”的成因和對策研究》(課題批準號:XDKT3071)階段研究成果.