淺析待定系數法在絕對值問題中的應用

陳少春

浙江省紹興魯迅中學 (312000)

淺析待定系數法在絕對值問題中的應用

陳少春

浙江省紹興魯迅中學 (312000)

二次函數的絕對值問題一直受高考命題者的青睞，緣由是它既是我們比較熟悉的知識內容，但又能考查我們的綜合分析問題的能力．如何破解這類問題？本文想嘗試“待定系數法”的方法解決二次函數的絕對值問題中的“證明、最值、范圍”，希望給我們考生在解決此類問題帶來些許幫助．

一、二次函數絕對值的“證明”問題

例1 二次函數f(x)=ax2+bx+c，當|x|≤1時，|f(x)|≤1.求證：當|x|≤2時，|f(x)|≤7．

注：該例可推廣到更一般的情形.

二次函數f(x)=ax2+bx+c，當|x|≤1時，|f(x)|≤1．求證：當|x|≤n時，|f(x)|≤2n2-1(n∈N*)．

例2 已知函數f(x)=x2+ax+b．

(1)設b=a，若|f(x)|在x∈[0,1]上單調遞增，求實數a的取值范圍；

解：(1)略；

二、二次函數絕對值的“最值”問題

在各地模擬卷里我們經常碰到這樣的問題：求一個帶多個參數的絕對值二次函數在某個區間上最大值的最小值，解決這種常規方法是分類討論和數形結合來解決，但是因為參數太多，很多同學無從下手．其實通過圖形分析可以發現，這類問題最小值一定是在兩個端點和對稱軸的函數值相等取到的，為待定系數法解決這類問題提供了思路．

類型1f(x)=|ax2+bx+c|(a為常數)型最小值

例3 (2016年嘉興期末理18)已知函數f(x)=x2+2bx+c，設函數g(x)=|f(x)|在區間[-1,1]上的最大值為M．

(1)若b=2，試求出M；

(2)若M≥k對任意的b，c恒成立，試求出k的最大值．

解：(1)略；

例4 (2016年稽陽聯考理18)已知二次函數f(x)=-x2+ax+b(a,b∈R)，設M(a,b)是函數g(x)=|f(x)|在[1,2]上的最大值．

(1)當a=1時，求M(1,b)關于b的解析式；

由于大型渠道混凝土襯砌施工作業多在1∶2或更陡的坡面上進行切縫施工，且自動行走，能使其平穩地行駛在坡面上，配重調整過重過輕、配重的位置都是影響實際應用的主要因素，所以機具的配重尤為重要。

(2)若對任意的a,b∈R，恒有M(a,b)≥M(a0,b0)，求所有滿足條件的實數對(a0,b0)．

解：(1)略；

類型2f(x)=|ax2+bx+c|(b為常數)型最小值

結論f(x)=|ax2+bx+c|(b為常數)在區間[x1,x2]上的最大值是M，則

(1)當a=0，b=1時，寫出函數f(x)的單調區間；

(3)若對任意實數a,b，總存在實數x0∈[0,4]使得不等式f(x0)≥m成立，求實數m的取值范圍.

解：(1)、(2)略；

類型3f(x)=|ax2+bx+c|(b為參數且動區間)型最小值

這類問題可以通過變量換元使得區間變成定區間，從而把問題轉化成類型1或者類型2.

(2)記M(a,t)為函數f(x)在區間[t,t+2]上的最大值(t∈R)，求M(a,t)的最小值.

解：(1)略；

三、二次函數絕對值的“范圍”問題

例7 已知函數f(x)=ax2-c，滿足|f(1)|≤1,|f(2)|≤5，求f(3)的范圍．