一個平面向量數量積的多種解法

胡周華

江蘇省啟東市匯龍中學 (226200)

一個平面向量數量積的多種解法

胡周華

江蘇省啟東市匯龍中學 (226200)

江蘇考試說明中都將“平面向量的數量積”作為考查的重要內容(C級要求)．如果在解答題中未曾考查，那么必在填空題中考到．

圖1

向量有字母表示及坐標表示兩種方法，使得向量運算持有平行的兩條運算途徑——向量法及坐標法，應合理地選用運算方法及它們的轉化．

分析1:平面向量的基本定理說明，平面內兩個不共線向量為基底可以表示任一向量，這樣的基底有無窮多組．一般選用從同一頂點出發的基底向量、或首尾相連的向量，運用向量加、減法運算及數乘運算來求解，即利用相等向量、相反向量和線段的比例關系，運用運算法則，利用三角形中的中位線、相似三角形對應邊成比例等，把已知向量轉化為與未知向量有直接關系的向量．利用基底法和向量數量積的定義將所求向量數量積轉化為已知基向量的向量數量積.

分析3:用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本要領．除利用向量的加減法、數乘外，還應充分利用平面幾何的一些定理．因此，在求向量時，要盡可能轉化到平行四邊形或三角形中去，利用向量平移將未知向量轉化為已知向量，再利用已知向量的數量積求解.

圖2

分析4:建立適當的直角坐標系，將向量的運算轉化為相應的坐標運算，利用向量的坐標表示把向量數量積問題數量化即坐標化.

圖3

又因為AD=2，所以x2+y2=4.②

圖4

總之，求有條件的向量數量積關鍵是抓住條件與結論之間的關系，靈活運用向量的和差運算，促進相互之間的轉化，有時要注意坐標運算，要根據題目的圖形特點進行坐標選取，將向量問題代數化，也是一個很好的路徑.