二次曲線系在圓錐曲線四點共圓問題中的應用

李鴻昌

(貴州省貴陽市北京師范大學貴陽附屬中學 550081)

1 預備知識

1.1 二次曲線系

兩個二次曲線通常有四個交點(這些交點中可能有重合的，也可能有虛的).如果這兩個二次曲線的方程分別為f1(x,y)=0和f2(x,y)=0(fi(x,y)=0是x,y的二次式)，那么過它們交點的二次曲線束可寫成λf1(x,y)+μf2(x,y)=0，其中λ,μ為實數且不全為0.

當二次曲線退化為直線時，即得到直線束方程.

1.2 直線系方程

設直線l1:m1x+n1y+c1=0與直線l2:m2x+n2y+c2=0相交于點P，則過點P的直線束方程可寫成λ(m1x+n1y+c1)+μ(m2x+n2y+c2)=0,其中λ,μ為實數且不全為0.

特別地，過點P的曲線束方程為(m1x+n1y+c1)(m2x+n2y+c2)=0.

1.3 圓系方程

過兩條直線f1=0,f2=0與一條二次曲線f(x,y)=0的4個交點的二次曲線束方程為f(x,y)+λf1f2=0(λ為參數)，僅當此方程中x2與y2的系數相同時表示圓.

2 典例分析

(1)求C的方程；

解析(1)因為|MF1|-|MF2|=2，所以M的軌跡C為雙曲線的右支，且

c2=17，2a=2，c2=a2+b2，

解得a=1，b=4.

(2)由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，得

所以△ATQ∽△PTB.

從而∠ABP=∠AQP.

因此A,B,Q,P四點共圓.

由題意知，直線AB和PQ的斜率均存在且不等于0，則直線AB的方程為

同理直線PQ的方程為

則過A,B,Q,P四點的二次曲線系方程為

(*)

因為A,B,Q,P四點共圓，所以該圓也是曲線(*)中的一條曲線.

方程(*)為圓的充要條件是

因為λ≠0，

所以k1+k2=0.

因此直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和等于0.

點評根據雙曲線方程及直線AB和PQ的方程，可寫出過A,B,Q,P四點的二次曲線系方程. 再由條件“|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|”得到A,B,Q,P四點共圓，所以二次曲線系方程中x2與y2的系數相同，從而得到k1+k2=0.

(1)求C的方程；

(2)過點F的直線l與C相交于A,B兩點，若AB的垂直平分線l′與C相交于M,N兩點，且A,M,B,N四點在同一圓上，求l的方程.

解析(1)設Q(x0,4)，代入y2=2px,得

解得p=2.

所以C的方程為y2=4x.

(2)由題意知直線l與x軸不垂直，故可設l的方程為x=my+1.

故可設AB的垂直平分線l′的方程為

于是過A,M,B,N四點的二次曲線系方程為

因為A,M,B,N四點共圓，

故直線l的方程為

x-y-1=0或x+y-1=0.

點評由題意可設出l和l′的方程，然后寫出過A,M,B,N四點的二次曲線系方程，根據A,M,B,N四點共圓，知方程中x2與y2的系數相同且xy的系數為0，從而得到l的方程.

3 應用

(1)求直線AB的方程；

(2)如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C,D兩點，那么A,B,C,D四點是否共圓，為什么？

所以直線AB的方程為y-x-1=0.

(2)易知直線CD的方程為y+x-3=0.

所以過A,B,C,D四點的二次曲線系方程為

該曲線方程表示圓的充要條件是

此時圓的方程為x2+y2+6x-12y+5=0.

因此A,B,C,D四點在圓x2+y2+6x-12y+5=0上，即A,B,C,D四點共圓.

題2(2005年湖北卷)設A,B是橢圓3x2+y2=λ上的兩點，點N(1，3)是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C,D兩點.

(1)確定λ的取值范圍，并求直線AB的方程；

(2)試判斷是否存在這樣的λ，使得A,B,C,D四點共圓？并說明理由.

解析(1)由于點N(1，3)是線段AB的中點，

所以N(1，3)在橢圓3x2+y2=λ內.

故3×12+32<λ，

即λ>12.

因此λ的取值范圍是λ∈(12,+∞).

3kAB=-3，即kAB=-1.

所以直線AB的方程x+y-4=0.

(2)易知直線CD的方程為x-y+2=0.

所以過A,B,C,D四點的二次曲線系方程為

3x2+y2-λ+μ(x+y-4)(x-y+2)=0.

即(3+μ)x2+(1-μ)y2-2μx+6μy-8μ-λ=0.

該曲線方程表示圓的充要條件是

3+μ=1-μ，即μ=-1.

此時圓的方程為