再探“等弧度三圓共點圖”*

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(溫州市教育教學研究院,浙江 溫州 325000)

筆者曾在本刊發表了題為“‘等弧度三圓共點圖’的幾個有趣性質”和“‘等弧度三圓共點圖’中一個神奇的四點共圓”兩篇文章，給出了等弧度三圓共點圖的許多有趣性質.本文將繼續探究等弧度三圓共點圖并進一步揭示其內在的數學性質，給出一系列有趣的四點共圓.

圖1 圖2

文獻[1]揭示了“黃圓圖”中隱含的一個漂亮的四點共圓：

性質1在“黃圓圖”中，點O1，O2，O3，D共圓.

文獻[2]又給出性質1中的四點共圓存在一個美妙的性質：

本文將繼續探究“等弧度三圓共點圖”中內在的性質，給出一系列有趣的四點共圓.

圖3 圖4

證明聯結MO1，NO1，O2D，O3D，MD，ND(如圖4)，顯然MO1經過點O2，NO1經過點O3，根據性質1可知，點O2，O1，D，O3共圓，從而

∠DO2O1=∠DO3O1.

又因為∠DO2O1=2∠MDO2，∠DO3O1=2∠NDO3，所以

∠MDO2=∠NDO3，

從而

圖5 圖6

先給出一個結論：

∠MAB+∠CAN+∠CAB=180°，

即點M，N，A共線.

下證點A，E，F，H共線.聯結AF，AE，FN，EM，延長AE交⊙O1于點H′(如圖7).由FN，EM分別是⊙O3，⊙O2的直徑，知FA⊥MN，EA⊥MN，從而點A，E，F共線.又

∠H′AB=∠BAM=∠CAH′+∠CAN=90°，

于是

∠H′AB=∠CAH′，

圖7 圖8

∠M+∠MED=∠N+∠NFD=90°，

得

∠MED=∠NFD,

故點O1，E，D，F共圓，從而

圖9 圖10

證明先證點O1，H，C，F共圓.

即

∠HO1C=∠HFC,

因此，點O1，H，C，F共圓，從而

圖11

△BO1E≌△AO1E, ∠B=∠A.

而O1H=O1A，于是∠A=∠H，得∠B=∠H，因此，點O1，B，H，E共圓.由

又

△BO1H≌△CO1H，

故經過點O1，H，C，F的圓與經過點O1，B，H，E的圓是等圓.

圖12

關于這個“黃圓圖”，肯定還有許多有趣的性質，有待數學愛好者繼續研究(見文獻[1-3]).下面我們再給出“黃圓圖”的一個性質，限于篇幅，其證明不再贅述，留給讀者完成.

1)⊙O2，⊙O3與大圓O1分別內切于點M，N;