二次曲線的若干優美性質*
——2018年全國卷Ⅰ解析幾何試題引發的思考

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(黃石市第一中學,湖北 黃石 435000)

2018年全國數學高考卷Ⅰ(文、理科)的解析幾何試題有一個共同特點：已知定點P(m,0)是圓錐曲線C:F(x,y)=0內一點，過點P的動直線與圓錐曲線C相交于點A，B,則存在點Q,使得∠AQP=∠BQP.

1 試題呈現

1)當l⊥x軸時，求直線AM的方程；

2)設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.

(2018年全國數學高考卷Ⅰ理科試題第19題)

例2設拋物線C:y2=2x，點A(2,0)，B(-2,0)，過點A的直線l與C交于點M，N.

1)當l⊥x軸時，求直線BM的方程；

2)證明：∠ABM=∠ABN.

(2018年全國數學高考卷Ⅰ文科試題第20題)

2 引發思考

上述兩道試題的第2)小題難度都不大，例1的第2)小題只需要證明kMA+kMB=0，即可知直線

MA，MB的傾斜角互補，從而∠OMA=∠OMB；例2的第2)小題只需要證明kBM+kBN=0，即可知直線BM，BN的傾斜角互補，從而∠ABM=∠ABN.具體解答過程此處略.

盡管圓錐曲線的模型不同，但是有著類似的結論，值得我們深入思考.例1和例2的第2)小題解答后，筆者產生了3個疑惑(以例1為例):

1)如何知道存在使等角恒成立的定點M呢?如果要求點M的坐標，那么該怎么辦?

2)既然橢圓和拋物線有類似結論，那么圓和雙曲線是否也有類似的結論？能否得到圓、橢圓、雙曲線和拋物線的一般性結論？

3)上述兩道高考試題中的直線經過的定點都在曲線內部，如果定點在曲線外部，那么結論又如何？

3 結論推廣

圖1

圓、橢圓、雙曲線和拋物線都是對稱的二次曲線，很多時候它們有著相同的性質.下面，我們帶著上述3個疑惑進行探究，試著將此結論向圓、橢圓、雙曲線和拋物線進行推廣.

圖2 圖3

證明設A(x1,y1)，B(x2,y2),點A關于x軸的對稱點為A′(x1,-y1)，設直線AB：x=ky+m，則直線A′B的方程為

(x2-x1)(y+y1)=(y2+y1)(x-x1).

令y=0，得

(k2+1)y2+2kmy+m2-r2=0，

依題意有Δ>0，則

證明設A(x1,y1)，B(x2,y2)，Q(x0,0),直線AB:x=ky+m，則∠AQP=∠BQP等價于

(k2+1)y2+2kmy+m2-r2=0，

依題意有Δ>0，則

圖4 圖5

證明同推論1，這里不再贅述.

值得說明的是：當定點P(m,0)在⊙O內時，∠AQP=∠BQP；當定點P(m,0)在⊙O外時，∠AQP+∠BQP=180°.

圖6 圖7

圖8 圖9

證明同推論1，這里不再贅述.

值得說明的是：當定點P(m,0)在橢圓C內時，∠AQP=∠BQP；當定點P(m,0)在橢圓C外時，∠AQP+∠BQP=180°.

推論5和推論6的證明可仿照推論1、推論3，此處不再贅述.

值得說明的是：當定點P(m,0)在雙曲線C內時，∠AQP=∠BQP；當定點P(m,0)在雙曲線C外時，∠AQP+∠BQP=180°.

定理4已知拋物線C:y2=2px(其中p>0)，過定點P(m,0)(其中m≠0)的動直線l與拋物線C相交于點A,B，點A關于x軸的對稱點為A′，則直線A′B過定點Q(-m,0).

證明設A(x1,y1)，B(x2,y2),點A關于x的對稱點為A′(x1,-y1)，設直線AB:x=ky+m，則直線A′B的方程為

(x2-x1)(y+y1)=(y2+y1)(x-x1)，

令y=0，得

y2-2pky-2pm=0，

其中Δ=4p2k2+8pm>0，則

y1y2=-2pm,y1+y2=2pk,

因此直線A′B過定點Q(-m,0).

推論7已知拋物線C:y2=2px(其中p>0)，過定點P(m,0)的動直線l與拋物線C相交于點A,B，則存在點Q(-m,0)，使得∠AQP=∠BQP.

推論8已知拋物線C:y2=2px(其中p>0)，過定點P(m,0)(其中m<0)的動直線l與拋物線C相交于點A,B，則存在點Q(-m,0)，使得∠AQP+∠BQP=180°.

推論7和推論8的證明可仿照推論1、推論3，此處不再贅述.

值得說明的是：當定點P(m,0)在拋物線C內時，∠AQP=∠BQP；當定點P(m,0)在拋物線C外時，∠AQP+∠BQP=180°.

下面給出一般性結論：

推論9和推論10的證明同上.

值得說明的是：當定點P(m,0)在二次曲線Γ內時，∠AQP=∠BQP；當定點P(m,0)在二次曲線Γ外時，∠AQP+∠BQP=180°.