近5年臺灣地區高考空間向量題分析及其思考*

●

(湖南教育出版社,湖南 長沙 410007)

0 前言

向量是近代數學最重要、最基本的概念之一，是溝通幾何、代數、三角等內容的橋梁，具有豐富的實際背景和廣泛的應用.空間向量主要研究空間基本圖形的位置關系和度量關系，運用向量方法可以解決簡單的數學問題和實際問題，從中體會向量是研究幾何問題的有效工具.

筆者就近5年(2012—2016年)臺灣地區學測、指考中的空間向量題進行了匯編和整理，然后分析、解答和點評，就其特色進行總結，并給出了在教材編寫和命題方面的一些建議.臺灣地區高考空間向量題的命制很有特色，符合選拔性考試應該達到的要求，即以能力立意——考查考生的各種數學能力，多考一點想，少考一點算.

1 試題解評

例1設c為實數，E1,E2,E3皆為坐標空間中的平面，其方程式如下：

E1:cx+y=c;E2:cy+z=0;E3:x+cz=1,

已知E1,E2,E3有一個交點的z坐標為1，請選出正確的選項.

1) (1,0,0)是E1,E2,E3的一個交點;

2)E1,E2,E3有無窮多個交點;

3)E1,E2,E3中一定有兩個平面重合;

4)c=1;

5)E1,E2,E3有一個交點的z坐標值為2.

分析對于選項1)，將(1,0,0)分別代入E1,E2,E3的方程中，均滿足，因此選項1)正確.

對于選項2)，因為(1,0,0)是E1,E2,E3的一個交點，且E1,E2,E3有一個交點的z坐標為1，所以必有過兩個點的直線為平面E1,E2,E3的交線，因此選項2)正確.

對于選項3)，因為E1,E2,E3的法向量互不平行，所以E1,E2,E3中不可能有重合的平面(法向量平行是平面重合的必要不充分條件).

c3+1=0,

因為c=1不滿足上述方程，所以選項4)錯誤.

對于選項5)，(1,0,0)是E1,E2,E3的一個交點，且E1,E2,E3有一個交點的z坐標值為1，從而平面E1,E2,E3的交線為一條不平行于平面xOy的直線，故有一交點的z坐標值為2.

點評本題考查了考生的空間想象能力和邏輯推理能力.如本題的選項2)和選項5)考查了考生的空間想象能力，選項3)和選項4)考查了考生的邏輯推理能力.

例2考慮向量u=(a,b,0)，v=(c,d,1),其中a2+b2=c2+d2=1，請選出下列正確的選項：

1)向量v與z軸正向的夾角恒為定值(與c,d之值無關);

3)u與v夾角的最大值為135°;

分析對于選項1)，不妨取z軸正向的一個方向向量為u0=(0,0,1)，θ為向量v與z軸正向的夾角.因為

v·u0=(c,d,1)·(0,0,1)=1,

即

所以

解得

故選項1)正確.

對于選項2)，可利用基本不等式.因為

u·v= (a,b,0)·(c,d,0)=ac+bd≤

從而u·v的最大值為1，故選項2)錯誤.

對于選項3)，設u與v夾角為θ，因為

即

故選項3)正確.

對于選項4)，因為a2+b2=c2+d2=1，令a=sinα,b=cosα，c=sinβ,d=cosβ,則

ad-bc=sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α-β),

即

|ad-bc|≤1，

故選項4)錯誤.

對于選項5)，|u×v|表示的數值是以u,v為鄰邊的平行四邊形的面積.因為

點評本題通過給出空間中兩個向量以及條件關系式從不同方面進行設問，5個選項分別從不同方面考查向量的夾角、內積、外積，并與不等式結合起來考查最大值.

例3給定向量u=(2,2,1)，請選出下列正確的選項：

2)可找到向量v，使得u×v=(1,3,4);

3)若非零向量v滿足|u·v|=2|v|，則

u×v=0;

4)若非零向量v滿足|u×v|=3|v|，則

u·v=0;

v=0.

5)若向量v滿足u·v=0且u×v=0，則

對于選項2)，u×v表示的向量應與向量u或v垂直，因此u·(u×v)=0，而(2,2,1)·(1,3,4)=2+6+4=12≠0，故選項2)錯誤.

對于選項3)，因為|u·v|=2|v|,即

|u|·|v|·|cosθ|=2|v|，

又

所以

u×v≠0，

故選項3)錯誤.

對于選項4)，|u×v|=3|v|,即

|u|·|v|sinθ=3|v|,

從而

sinθ=1,

解得

即

u·v=0，

故選項4)正確.

對于選項5)，根據題意u·v=0且u×v=0,可知向量u,v既相互垂直又相互平行，又因為u≠0，所以v=0，故選項5)正確.

點評本題考查向量的兩種主要運算——內積和外積，理解向量內積和外積的幾何意義，向量u,v的外積u×v表示的向量方向與u,v均垂直，|u×v|表示以u,v為鄰邊的平行四邊形面積.

分析因為向量w與向量u×v平行，所以

u·w=0,v·w=0,

從而x+2y+3z=0,

(1)

x-z=0.

(2)

x-2y+z=6,

(3)

由式(1)～(3)可得x=1,y=-2,z=1.

例5在坐標空間中，一質點自點P(1,1,1)沿著方向a=(1,2,2)等速直線前進，經過5秒后剛到平面x-y+3z=28上，立即轉向并沿著方向b=(-2,2,-1)以同樣的速度等速直線前進.請問再經過幾秒此質點會剛好到達平面x=2上？

1)1秒; 2)2秒; 3)3秒; 4)4秒;

5)永遠不會到達.

分析質點在空間中的運動軌跡為(1+vt,1+2vt,1+2vt)，其中v表示沿a方向運動的速度，t為運動時間，經過5秒后質點到達點(1+5v,1+10v,1+10v)，代入平面方程x-y+3z=28可得v=1，因此質點的運動軌跡與平面x-y+3z=28的交點坐標為(6,11,11).同理可以求得返回的軌跡方程為

其中t為參數,表示時間，從而6-2t=2，解得t=2，因此經過2秒后，質點剛好到達平面x=2上.

點評本題考查了空間向量中直線方程的參數形式和笛卡爾坐標系中的平面方程，以及聯立直線方程和平面方程求出它們的交點等知識及其應用.

1)點(3,0,-1)在直線L上;

2)點(1,2,3)在平面E1上;

3)直線L與平面E1垂直;

4)直線L在平面E2上;

5)平面E1與E2交于一直線.

上式顯然不成立，故選項1)錯誤.

對于選項2)，將點(1,2,3)代入平面E1中，有2-6-3≠0，故選項2)錯誤；

對于選項3)，直線L的方向向量為n1=(2,-3,-1)，平面E1的法向量為n2=(2,-3,-1)，從而n1=n2，故選項3)正確.

對于選項4)，點(1,2,0)不在平面E2上，故選項4)錯誤.

對于選項5)，平面E1的法向量為n2=(2,-3,-1)，平面E2的法向量為n3=(1,1,-1)，從而n2≠n3，因此平面E1與平面E2既不平行也不重合，即平面E1與E2必交于一直線，故選項5)正確.

點評本題給出空間中的一條直線和兩個平面的笛卡爾坐標方程，判斷點和直線以及點和平面的位置關系、直線和平面以及平面和平面的位置關系等等.

2 特色與建議

從總體上來說，臺灣地區近5年高考空間向量題比大陸地區的向量題容易，表現在運算量較小，計算的技巧性不大.臺灣地區的考題主要考查考生對基本概念、基本知識的掌握和運用程度，考查的知識點比較全面，且和其他知識交會，比如與不等式、函數、行列式、解方程等結合.考查考生的空間想象能力和推理論證的能力，特別重視直線的方向向量和平面的法向量以及用方向向量和法向量判定直線與平面的位置和度量關系、向量的內積和外積的幾何意義、直線和平面的幾種不同形式之間的互化等等.另外，臺灣地區數學高考試卷中有單選和多選題，多選題中5個選項的設置、考查的知識點和所用的方法不同，不能夠利用特殊值代入等所謂的技巧進行選擇或者排除，全選正確對考生的要求較高.每個選項的選擇都考查某一個知識點，并能運用通性通法進行分析和解決.

通過對臺灣地區向量高考試題的分析，可以推斷臺灣地區課程標準對空間向量的要求比大陸高，比如會求出空間中直線和平面的笛卡爾坐標系方程，能夠對空間直線方程的不同形式(如向量形式、參數方程形式和笛卡爾坐標形式)、平面方程的不同形式(向量形式和笛卡爾坐標形式)進行互相轉化.再比如向量的外積，即叉積的運算和幾何意義，以及三階行列式和空間中不共面三向量構成的平行六面體的體積關系等等.建議在大陸地區的課程標準中增加直線和平面的各種方程形式，利用直線和平面的各種形式可以直接看出直線和平面的方向向量和法向量，可以方便快捷地解決點、直線和平面之間的位置關系和度量關系.另外，增加三階行列式與平行六面體的體積關系等內容.

總之，臺灣地區教材和大陸教材相比，前者內容多，如空間向量，復數等.臺灣地區的數學高考對大陸高考命題人員具有一定的參考價值，如“怎樣命制多項選擇題、應用題、數學文化題”“如何考查考生的分析問題和解決問題的能力”，都具有一定的借鑒意義.

2 解法探究

1)證明設P(x0,y0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，則PA，PB的中點坐標分別為

從而

即

式(1)-式(2)，得

于是

故PM⊥y軸.

對于第2)小題，首先由PM⊥y軸可知

從問題指向來看，面臨的仍舊是坐標的處理，不同的思考亦會有不同的方法，但必然遵循化歸思想指引.

2)解法1(化歸為x0,y0形式)由式(1)和式(2)可知

|y1-y2|均可用上述韋達定理轉化，經計算可得

解法2(化歸為y1,y2形式)由式1)可得

且

代入面積表達式，得

即

從而

于是

下面可設t=sin2θ-cosθ，先確定t的范圍再確定S△PAB范圍即可(略).

圖2

不妨設y1>0，則拋物線C在點A處的切線方程為

(3)

即

2x-y1y+2x1=0.

同理可得拋物線C在點B處的切線方程為

(4)

即

2x-y2y+2x2=0.

2x-2sinθ·y+4cosθ-2sin2θ=0，

與y2=4x聯立，可得

y2-4sinθ·y+8cosθ-4sin2θ=0,

于是

|PM|=|xM-x0|=3(sin2θ-cosθ).

下述過程與解法2后面一致，不再贅述.

3 結論拓展

圖3

例2如圖3，已知點P是y軸左側(不含y軸)一點，拋物線C：y2=4x上存在兩個不同的點A，B滿足PA，PB的中點均在拋物線C上，PM交C于點N，且拋物線上點A，B處的切線交于點Q，證明：

1)P為QN的中點；

2)拋物線上點N處切線平行于AB.

于是

xN+xQ=2x0,

即點P為QN的中點.

4 考查評析

1)點在曲線上，則該點坐標符合曲線方程.

從“解法探究”中可以發現，例1中兩個小題的解決都是圍繞著“點坐標”在做文章.第1)小題中，基于4個點為拋物線上的點，則這4個點的坐標符合拋物線方程，從而列式化簡，化簡過程中體現了轉化思想，即3組坐標(x0,y0)，(x1，y1)，(x2,y2)結合拋物線方程轉化為y0,y1,y2的形式，從而求得yM=y0，證得結論.

第2)小題的解決立足于第1)小題，面積的表示以及所涉及的運算，都圍繞著第1)小題列式展開.雖然第2)小題給出了3種方法，但仔細分析，這些解法都是依據點坐標轉化處理的.解法1首先是巧妙寫出以y1,y2為根所確定的一元二次方程，再將xM與|y1-y2|表示成關于x0,y0的形式，最后化歸為關于x0的函數形式；解法2首先是運用條件將x0,xM轉化為關于y1,y2的形式，再通過三角代換化歸為關于θ的函數形式；解法3的思維起點是試圖求出直線AB的方程，從而引入極點Q(拋物線兩條切線的交點稱為極點，對應切點連線稱為極線)，兩條切線的不同表達形式(本質為利用拋物線方程點坐標的轉化)，既可求得極點Q的坐標，又可求得極線AB的方程，再結合第1)小題解決.

2)雖非同尋常，但關注解析幾何問題本質.

本題以中點、三角形面積為素材，考查解析幾何知識的應用.雖說中點、三角形面積都是學生比較熟悉的問題，但其解決方法又有別于我們平日所熟悉的模式.通常所接觸的三角形面積問題，往往是設動直線AB的方程，引入參數直線斜率k,然后將面積表示為k的形式，最后求得范圍.但本題打破了這種慣性思維，它緊緊圍繞點坐標符合曲線方程展開，通過坐標間的互化，實現化歸.當然，學生平時所學似乎不能得到良好發揮，特別是在考試時間有限的情況下對學生而言還是有一定難度的，但細細分析只要有良好的數學直覺，只要緊緊圍繞條件進行有效思考還是能管窺一斑.同時，從高考人才的選拔來說也是十分有必要的，畢竟高考選拔很重要的功能是甄別學生的創新素質，這樣的問題往往可以考查學生的思維深度和臨場應變能力等.

雖非同尋常，但仔細分析該問題解決的方法，其解決途徑無不是圍繞著“點坐標”轉化處理，這也體現了解析幾何的本質：平面上的點與有序實數對之間建立了對應關系，平面上的曲線和兩個變量的方程之間建立對應關系，使得對于平面上的每一條曲線，都存在一個確定的方程f(x,y)=0與之對應；反之，對于每一個這樣的方程，都存在平面上一條確定的曲線，同樣也可以在方程f(x,y)=0的代數性質與其相聯系的曲線的幾何性質之間建立對應關系.

5 教學啟示

5.1 適度訓練不落俗套

數學教學不應以應試為目的，不能搞程式不變的模式化訓練.一成不變的模式訓練與題海訓練必然會使學生“思維僵化”“生笨”“生厭”等.關于這個問題早在20年前，李士锜教授就在《數學教育學報》上刊登過3篇文章“熟能生巧嗎”“熟能生笨嗎?——再談‘熟能生巧’問題”“熟能生厭嗎——三談熟能生巧問題”，很好地論述了“熟”與“生巧”“生笨”“生厭”的關系：1)過程操作是概念形成的第一步，因此，常規訓練是理解的必要條件；2)如果教學中不能把握數學過程與數學對象之間的平衡，過度的常規練習會影響到學生的理解力和創造力的發展；3)常規訓練若不適當，則可能使學生形成不良信念、態度、情緒，對他們今后學習將產生負面影響.這些觀點對我們今天的教學依然有十分重要的指導意義.

數學教學需要適度練習，但這個練習首先以理解為前提，再則練習一方面以鞏固知識為目標，另一方面要以培養學生多元化思考為目標.在數學練習中，不僅倡導運用數學知識解決問題，更倡導在問題解決過程中發散學生思維、發展學生能力.

5.2 關注知識本質教學

數學教學作為數學知識的教學，首要的是要抓住知識的本質展開教學.正如例1，雖然問題處理方式與常態有所不同，但其本質為解析幾何中處理點與曲線、坐標與方程之間的對應關系，從而利用代數方法解決幾何問題.抓住了這個知識本質，此題便可施展其手.因此，教學中教師要抓住知識的本質，適當做些訓練，適當做些歸類，不急功近利，扎扎實實地幫助學生建立數學知識體系，幫助學生建構一些解決問題的方法——“通解通法”.通過融入知識本質的教學，提升學生數學地分析問題、解決問題的能力，從而培養學生“用數學的眼光觀察世界、用數學的思維思考世界、用數學的語言表達世界”的能力.

注重知識本質的教學，意味著教師要善于對數學知識進行深入挖掘，不斷地自我追問：“客觀事物背后隱藏著什么數學知識與規律？數學知識的本質屬性又是什么？統攝具體數學知識及技能的數學思想是什么？”[1]

5.3 融入數學思想方法

數學教學始終要融入數學思想方法.筆者認為：不管我們的教學目標、教學理念和教學行為等如何改變，數學教學必然要融入數學思想方法，這是數學的學科特色所決定的，是數學育人價值中的重要一環，是促進學生數學素養提升的重要保障.數學思想方法體現了數學地學習數學，它使學生的數學學習有章可循、有理可據、有法可依.

倘若，我們的教學脫離了數學思想方法的融入，那么學生的學習只能迷失于數學的題海之中，變得盲目不可得.如例1，學生在考試中，面對幾個點坐標與幾個方程的處理，必然要以轉化思想為指導，才能最終實現化歸；在第2)小題的解法1中，

意味著S△PAB與xM,x0,y1,y2這4個變量有關，但通過數學思想指引，通過條件的有效利用，最終轉化為關于x0的函數形式.因此，在平日的數學教學中，需要有機融入數學思想方法，以增強學生數學地解決問題之能力.