三角形“四心”坐標表示及其應用*

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(廣州大學數學與信息科學學院,廣東 廣州 510006)

●關麗娜

(深圳大學數學與統計學院,廣東 深圳 518060)

三角形“五心”的向量表示指的是如下定理：

定理1在△ABC中，設P是三角形所在平面上任意一點，則

(1)

其中S△PBC,S△PCA,S△PAB表示有向面積.這個既有面積又有向量的等式(1)，稱為三角形“五心”的向量形式.它將三角形“五心”的向量表達式統一起來.這里的“五心”指的是三角形的重心、內心、外心、旁心、垂心.

從形式上看，上述定理當屬三角形“五心”的一個幾何刻畫.我們知道一個數學研究對象如果具有幾何和代數上的兩種刻畫，那么該對象從某種程度上來說是優美的.“數形結合”思想說的就是這樣的一種數學美.

數學具有美，三角形“五心”是其中一種數學美.那么用純坐標(不涉及角度、邊長)表示三角形“五心”的坐標也應該有它的優美.遺憾的是，國內少見有對三角形“五心”純坐標形式進行刻畫的文獻(對于三角形外心和垂心的代數刻畫可參見文獻[1]).本文介紹Wildberger教授在文獻[2]中引入的符號在刻畫三角形重心、外心、垂心、九點圓圓心的坐標表達式中的應用.這種刻畫是代數的，筆者利用三角形重心、外心、垂心的坐標表示給出了三角形重心、外心、垂心三點共線的一個證明.

1 符號的規定及例子

Wildberger教授在文獻[2]第29頁中引入了以下記號：

(2)

符號(2)等號的右邊是一個3階行列式.根據行列式運算法則，得

不失一般性，我們可以定義如下更一般的符號：

(3)

我們先看一些例題：

證明若直線li:Aix+Biy+Ci=0(其中i=1,2,3)三線共點，則

證明由三角形的面積公式可得

評注由例4和例5可知，在式(2)的使用下，三線共點和三點共線的充要條件變得異常簡單.

2 符號在表示三角形重心、垂心、外心、九點圓圓心中的應用

有了式(2)的規定，我們可以得到三角形重心的坐標表示，即以下的命題(重心的橫坐標詳見文獻[1])：

命題1設△ABC頂點A,B,C的坐標分別為(x1,y1)，(x2,y2),(x3,y3),則△ABC的重心坐標為

(x1+x2)x1y2+(x1+x3)x3y1+(x2+x3)x2y3-(x2+x3)x3y2-(x1+x2)x2y1-(x1+x3)x1y3=

(x1+x2+x3)(x1y2+x2y3+x3y1-x1y3-x3y2-x2y1),

對應于三角形的外心和垂心，有以下兩個命題，證明過程詳見文獻[2].

若設△ABC各邊中點分別為D,E,F，各頂點到對邊的垂足分別為M1,M2,M3，設△ABC的垂心為H，且設HA,HB,HC的中點分別為N1,N2,N3，則由九點共圓定理可知點D,E,F,M1,M2,M3,N1,N2,N3在△DEF的外接圓上.用式(2)，我們還可以給出這個九點圓圓心的一個坐標表示，即以下命題.X為實心圓點，其證明過程與命題2類似,不再贅述.

命題4[2]設△ABC頂點A,B,C的坐標分別為(x1,y1)，(x2,y2),(x3,y3),且設線段BC,CA,AB的中點分別為D,E,F，則△DEF的外心為

有了三角形的重心、外心、垂心的坐標表示，接下來我們給出三點共線的一個證明.

定理1[3]△ABC的外心、垂心、重心三點共線(歐拉線).

證明設△ABC頂點A,B,C的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)，且△ABC的重心、垂心、外心分別記為G,H,O,則由命題1～3可得點G,H,O的坐標分別為

故點G,H,O共線.

從上面的討論過程可以看出：和三角形的五心向量表示一樣，可以用純坐標(不涉及邊長和角度)將三角形的重心、外心、垂心、九點圓圓心優美地刻畫出來.截止目前，筆者依舊沒有找到三角形內心的純坐標表示的相關資料，它是不是也可以用式(2)優美地表示出呢？有興趣的讀者可以自己探討.