不等式證明里的運(yùn)算技巧*

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(咸陽(yáng)師范學(xué)院課程研究中心，陜西 咸陽(yáng) 712000)

不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，不等式的性質(zhì)是不等式的核心知識(shí)，諸如同向不等式相加、相乘的性質(zhì)等.筆者思考的問(wèn)題是：異向不等式相加、相乘與同向不等式相減、相除，可以獲得怎樣的不等式呢？本文通過(guò)實(shí)際例子探究這個(gè)問(wèn)題.

1 兩個(gè)不等式相加

兩個(gè)同向不等式可以疊加，產(chǎn)生第3個(gè)不等式.而兩個(gè)異向不等式的兩邊是不可以進(jìn)行相加推理的，但有時(shí)兩個(gè)異向不等式的兩邊相加，選擇一個(gè)不等號(hào)的方向，可能產(chǎn)生一個(gè)新穎的正確的不等式，這是一件十分有趣的事情，它可以幫助我們?nèi)ヌ骄俊l(fā)現(xiàn)一些不等式的加強(qiáng).

例1設(shè)a,b>0，求證：

證明待證不等式

?

?

?

只要證明

?

?

?

得證.

說(shuō)明十分有趣的是：兩個(gè)異向的不等式的兩邊分別相加，選擇一個(gè)不等號(hào)的方向，有時(shí)可以獲得一個(gè)正確的不等式，有時(shí)獲得的不等式是錯(cuò)誤的，這就需要讀者深入探究、舉反例、修改和論證.

我們知道：若a,b,c>0，則有常見不等式

將這兩個(gè)異向不等式相加，得到：若a,b,c>0，則：

這就說(shuō)明，一些錯(cuò)誤的做法里蘊(yùn)含著正確的成分，需要人們?nèi)リP(guān)注、去挖掘.又如：已知a,b,c是正實(shí)數(shù)，求證：

2 兩個(gè)不等式相減

對(duì)于兩個(gè)同向的不等式，將不等式的兩邊分別相減，獲得的不等式是否正確需要論證.若是正確的，則獲得了一個(gè)十分有用的局部不等式，這也為一些不等式的證明提供了一種有效的可能通道.

探究由待證不等式

得

將這兩個(gè)同向不等式相減，得

(1)

下面證明不等式(1)成立，它是證明本題的一個(gè)有用的局部不等式.

事實(shí)上，

即不等式(1)成立.取k=1,2,3,…,n,得到n個(gè)不等式，疊加立知待證不等式成立.

說(shuō)明從要證不等式得出一個(gè)不等式，并把兩個(gè)同向的不等式相減，產(chǎn)生的不等式可能是錯(cuò)誤的，也可能是正確的，這需要舉反例或論證之.先猜后證是數(shù)學(xué)解題分析、解題思維的有效途徑之一，從自己已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，思考并獲得一個(gè)有用的局部不等式，有時(shí)顯得尤為重要.

(2)

即

用導(dǎo)數(shù)方法，容易證明此不等式成立，即式(2)成立.取k=1,2,…,n，得到n個(gè)不等式，疊加立知待證不等式成立.

當(dāng)然，在具體的解題中，探究發(fā)現(xiàn)局部不等式的過(guò)程可以隱藏，不讓其出現(xiàn).

3 兩個(gè)不等式相乘

對(duì)于兩邊均為正值的兩個(gè)異向不等式，把它們的兩邊分別相乘，選擇一個(gè)不等號(hào)方向，也許可以產(chǎn)生一個(gè)新穎有趣的正確不等式，它可能是一個(gè)常見經(jīng)典不等式的加強(qiáng).

例3設(shè)a,b,c>0,求證：

探究對(duì)a,b,c>0,熟知的不等式有

a3+b3+c3≥3abc，

ab+bc+ca≤a2+b2+c2.

將這兩個(gè)異向不等式相乘，可得

(a3+b3+c3)(ab+bc+ca)≥3abc(a2b2+c2),

變形得

這是《數(shù)學(xué)教學(xué)》2012年第10期問(wèn)題869，稍作加強(qiáng)，就有上述不等式.

證明待證不等式

因?yàn)閍2+b2+c2≥ab+bc+ca,所以只要證明

即 (a+b+c) (ab+bc+ca)2≥

3abc(a2+b2+c2+ab+bc+ca).

(3)

事實(shí)上，應(yīng)用二元均值不等式，得

(ab+bc+ca)2=

(ab)2+(bc)2+(ca)2+2abc(a+b+c)≥

ab·bc+bc·ca+ca·ab+2abc(a+b+c)=

3abc(a+b+c),

從而(a+b+c)(ab+bc+ca)2≥3abc(a+b+c)2,

即不等式(3)獲得證明，于是所要證明的不等式成立.

說(shuō)明應(yīng)用“異向不等式相乘”的方法，通過(guò)對(duì)接、調(diào)整、探究、修改和證明，有時(shí)可加強(qiáng)一些常見的經(jīng)典不等式，獲得某些新穎的不等式.

4 兩個(gè)不等式相除

對(duì)于兩邊均是正值的兩個(gè)同向不等式，把它們的兩邊分別相除，也許可以產(chǎn)生一個(gè)正確且有用的局部不等式，據(jù)此容易證明所給的不等式.

例4[2]已知n∈N+，求證：

探究由待證不等式

得

將這兩個(gè)不等式相除，得

(4)

下面證明不等式(4)成立.事實(shí)上,

取k=1,2,…,n,得到n個(gè)同向不等式，疊乘即有

說(shuō)明將兩個(gè)同向不等式相除，獲得的局部不等式可能是正確的，也可能是錯(cuò)誤的，這就需要判斷或論證，這樣產(chǎn)生的局部不等式為證明目標(biāo)不等式起到了關(guān)鍵作用.例4等價(jià)于1985年上海市數(shù)學(xué)高考試題第8題：對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，證明：

聯(lián)想到2012年的一道IMO不等式賽題：設(shè)n≥3,正數(shù)a2,a3,…,an滿足a2a3…an=1,求證：

(a2+1)2(a3+1)3…(an+1)n>nn.

可以試一試“同向不等式相除”研究該賽題.由待證不等式

(a2+1)2(a3+1)3…(ak+1)k>kk,

得(a2+1)2(a3+1)3…(ak-1+1)k-1>(k-1)k-1,

這兩個(gè)同向不等式相除，得

(5)

這個(gè)顯然是不對(duì)的，因?yàn)槭?5)的左邊有字母ak,而右邊沒(méi)有.事實(shí)上，

(6)

顯然，不等式(6)是不等式(5)的修正.由式(6)即有

以上筆者通過(guò)具體的例子探究了不等式證明里的“加、減、乘、除”運(yùn)算技巧，它可以幫助我們找到證明不等式的局部不等式或獲得一個(gè)已知不等式的加強(qiáng)結(jié)果，更多的例子留給有興趣的讀者去探究、尋找和發(fā)現(xiàn).

在“錯(cuò)誤”的做法里尋找正確的因素有時(shí)可以發(fā)現(xiàn)新的不等式，找到對(duì)證明不等式有用的“局部不等式”，這也是筆者的一點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)積累，通過(guò)本文希望給讀者提供一些思維的啟示.