一道高聯(lián)預賽四點共圓問題的探究

江西師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院 (330022)

陳德富 龔雙波

圖1

題目如圖1，設(shè)橢圓C的兩個焦點為F1,F2,兩準線為l1,l2,過橢圓上的一點P,作平行于F1F2的直線,分別交l1,l2于M1,M2,直線M1F1與M2F2交于點Q.證明:P,F1,Q,F2四點共圓.(2019年高中數(shù)學聯(lián)賽江西預賽第10題)

四點共圓由解析幾何的代數(shù)計算來判定，思路有些單調(diào).借助圖形結(jié)構(gòu)的幾何性質(zhì)和四點共圓的純幾何判定定理，我們可以從邊長度的計算去得到結(jié)論.

上面的證法充分發(fā)掘橢圓中線段比例關(guān)系的特殊性質(zhì)，這些性質(zhì)使得我們在處理托勒密定理和斯特瓦爾定理中邊長運算時更加靈活便利,這表明借助幾何定理，在解析幾何中也能提高推理和計算的效率.

通過以上多種思路探究和推理論證,既豐富了我們的解題方法,也拓展了我們對問題的理解,這種基于基礎(chǔ)知識的探究往往能很好提升知識靈活應用的能力,從而增強考場上的應變能力.另一方面,雙曲線和橢圓都有雙對稱軸和兩個焦點,通過計算,我們得到如下類似結(jié)論.

命題設(shè)雙曲線C的兩個焦點為F1,F2,兩準線為l1,l2,過雙曲線上的一點P,作平行于F1F2的直線,分別交l1,l2于M1,M2,直線M1F1與M2F2交于點Q.證明:P,F1,Q,F2四點共圓.

圖2