多變量問題中的“整元、換元、定元”策略*

福建省福清第三中學 (350315)

何文昌

福建省福清三山中學 (350318)

念 杰

不等式、函數與導數問題經常涉及多個變量，這類問題綜合性大，技巧性強，學生往往無從下手，給學生的求解帶來較大的困難.下面就“含多個變量問題”的“整元、換元、變元”策略作一探析，與同行交流.

一、整元——整合變量

評注：以上問題求解的難點在于它是含三個變量的問題，需要把式子變形轉換成同構式，用單調性的定義把同構式轉化為雙變量問題，再分離參數轉化成單變量問題，進而構造函數求解，求解過程用到整元策略.

二、換元——轉換變量

(1)若f(x)≥0，求a的取值范圍；

(2)證明：若f(x)有兩個零點x1,x2，則x1x2<1.

三、定元——確定主次

例3 (2022年北京卷第21題)已知函數f(x)=exln(1+x).

(1)略；(2)設g(x)=f′(x)，討論g(x)在[0,+∞)上的單調性；

(3)證明：對任意的s,t∈(0,+∞)，有f(s+t)>f(s)+f(t).

∴g′(x)>0對任意x∈[0,+∞)恒成立，g(x)在[0,+∞)上單調遞增.

(3)設m(s)=f(s+t)-f(s)-f(t)，則m′(s)=f′(s+t)-f′(s)=g(s+t)-g(s).由于g(x)在[0,+∞)上單調遞增，且s+t>s>0，則g(s+t)>g(s)，因此m′(s)=g(s+t)-g(s)>0，m(s)在(0,+∞)上遞增，故m(s)>m(0)=f(0+t)-f(0)-f(t)=-f(0)=0，因此，對任意的s,t∈(0,+∞)，有f(s+t)>f(s)+f(t).

評注：本題第(3)問中f(s+t)>f(s)+f(t)中有雙變量，因為s,t彼此獨立、地位相同，可以把一個變量確定為主元(自變量)，另一個變量確定為次元(參數)，通過移項、構造函數，把雙變量問題轉化成單變量問題，再利用導數研究函數的單調性，從而證明結論，證明過程用到定元策略.