一道導數多元變量不等式證明方法的深度融合

江蘇省海門中學 (226100)

渠懷蓮

多元變量不等式證明問題是導數中常見的一種題型，我們需要深入剖析，把握題目的本質，并對題目進行探究歸納，證明方法統一整合，與導數中單調性、極值、最值，切線基本問題融合考查.解決函數問題通常采用數形結合，正如著名數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微.”本文主要采用指對數的切割線放縮“以直代曲”思想方法論證不等式，并通過“數”進行邏輯推理，弱化條件或加強條件證明，化零為整統一結構形式，化整為零分而治之，構造新目標函數論證不等式.

一、題目呈現

已知函數f(x)=x(1-alnx)+1(a∈R).

(1)討論函數f(x)的單調性；(略)

(2)若關于t的方程lnt-(m-1)t+1=0有兩個不相等的實數根t1，t2，試證明：

二、解法探究

首先，將方程調整至原函數的結構形式，利用已知結論解決問題，優化解題路徑.

從而原問題轉化為證明：

問題1：x1+x2>2；

問題2：x1+x2

圖1

其次，如圖1，各參數的取值范圍，1

最后，我們采用數形結合，先用“形”找出證明的突破口，再用“數”去論證推理.

問題1 (方法一)增量換元法，即將兩個變量的和差積商作為一個變量，起到減元效果.

(方法二)極值點偏移，由單調性重構函數證明不等式.

因為f(x)在(1，+∞)上單調遞減，且02，只要證x2>2-x1>1，即證f(x2)0.令φ(x)=f(2-x)-f(x)，0φ(1)=0，所以f(2-x1)-f(x1)>0，即得x1+x2>2.

問題2 以直代曲，切割線放縮.

圖2

如圖2以形助數，f(x)在(0，1)上考慮割線y=x+1，f(x)在(1，e)上考慮切線y=-x+e+1.首先，對?x∈(0，1)，都有f(x)>x+1.要證x(1-lnx)+1>x+1，即證xlnx<0，只需證lnx<0，成立.所以f(x1)>x1+1①.其次，對?x∈(1，e)，都有f(x)<-x+e+1，要證x(1-lnx)+1<-x+e+1，即證2x-xlnx-e<0.令φ(x)=2x-xlnx-e，10，因而φ(x)在(1，e)上單調遞增，所以φ(x)<φ(e)=0成立.所以f(x2)<-x2+e+1，即得-f(x2)>x2-e-1②.又f(x1)=f(x2)=m，以上兩結論①，②不等式相加可得x1+x2

問題3 (方法一)調整切線放縮，在區間內恰當選擇切點.

(方法二)弱化條件，嘗試分而治之，重構函數證明不等式.

問題4 割線放縮，調整參數前的系數.

圖3

三、證后反思

此題的問題3是考查核心，其它幾問是為了證明方法之間的融合而添加的設問.在證明過程中，我們采用了數形結合切割線放縮，其中尋找恰當的切點是關鍵，我們可以通過斜率去發現，也可以通過目標不等式中需要的量發現.方法一簡潔明了，以形助數，“以直代曲”的思想方法，并且以數論形嚴密的邏輯推理.方法二技巧性要求很高，敢于把相關變量視作獨立變量去處理，兩個變量各重構一個新的目標函數分而治之.由此我們在處理數學問題時需要在“本手”的基礎上，使出一招“巧手”，規避“俗手”解決問題的途徑，做到知識與模塊的整合，解決路徑證明方法的融合，提升學生的直覺思維與邏輯思維.