“轉化·構造·換元”求解一道導數問題

江蘇省通州高級中學 (226300)

袁 源

高考數學壓軸試題蘊含豐富的數學思想和方法，是研究高考、備戰高考的良好素材，筆者對2021年高考數學乙卷理科20題進行解法探究，發現換元法可以快速地求解，于是觸發了我的思考.

1.試題呈現及解析

試題設計簡潔、解題入口寬，解法靈活多樣，能有效地考查函數與導數的基礎知識，考查化歸與轉化思想，突出綜合運用所學知識分析問題與解決問題的能力.在解決指數函數不等式、對數函數不等式或指數函數與對數函數混合不等式時，比如在解決恒成立問題或零點問題時，使用參變量分離法、隱零點代換法都避免不了復雜的計算，效果還不一定很好，然而合理使用“轉化、構造、換元”三大法寶會達到意想不到的效果.

評析：鑒于函數ln(1-x)的形式較為復雜，進行換元，令t=ln(1-x)，再構造函數g(t)=(t-1)et+1,t≠0求解，解法簡潔，真正體現了換元思想在導數中的運用魅力.

2.方法應用

例1 已知x3e2x-3lnx-ax-1≥0恒成立，求a的取值范圍.

例2 若函數f(x)=(x-2)2ex+ae-x-2a|x-2|有6個零點，求a的取值范圍.

解析：因為函數f(x)=(x-2)2ex+ae-x-2a|x-2|有6個零點，所以函數g(x)=(x-2)2e2x-2a|x-2|ex+a有6個零點.令t=|x-2|ex，則g(t)=t2-2at+a，首先研究t=|x-2|ex=|(x-2)ex|，只需研究y=(x-2)ex，由y′=(x-1)ex，當x∈(-∞,1)時，函數y=(x-2)ex單調遞減；當x∈(1,+∞)時，函數y=(x-2)ex單調遞增，又因為f(2)=0，則可以繪制函數y=(x-2)ex的草圖如圖1，又因為x=1時，y=-e，所以可以通過圖象的變換得出t=|x-2|ex=|(x-2)ex|的草圖如圖2.

圖1

圖2

評析：求解本題的關鍵有兩個方面，一方面可以將函數f(x)的零點個數轉化為函數g(x)的零點個數；另一方面是令t=|x-2|ex進行換元，構造一元二次方程即可求解問題.

可見，利用換元法解決這類指數函數與對數函數混合不等式問題或函數零點問題，可以帶來極大地便利.

好題總是回味無窮，耐人尋味，高考題深入展示了化歸與轉化思想、函數與方程思想、換元思想在不等式的證明中的運用.在教學中，我們應該經常與學生共享這些高考試題的思維探究和解法形成，引導學生探究解題方法，總結解題策略，對訓練學生數學思維的廣闊性、敏捷性、靈活性和深刻性是大有益處的.