大概念引領下的教學改進
——以“點到直線的距離公式”為例

浙江省寧波市鄞州中學 (315104)

楊 潔

新修訂的普通高中課程方案明確指出：“重視以學科大概念為核心,使課程內容結構化,以主題為引領,使課程內容情境化,促進學科核心素養的落實.”[1]可見，大概念的提出為有效的課堂教學組織提供了路徑.最近,筆者再次回顧了兩節主題為“點到直線的距離公式”市級公開課,上課采用的是“同課異構”形式，兩節課最大的差異就體現在公式推導方法的處理上.到底哪種做法更加自然、更加符合學生的認知水平？

1 教學過程簡介與分析

“兩點之間距離最短”是歐式幾何的本質所在,把兩點所確定的線段長度定義為這兩點間的距離.利用空間元素的垂直關系,解決各種各樣的距離問題,這是幾何中解決距離問題的基本思路.點到直線的距離公式是知識的一個交匯點,是一個內涵豐富的內容,故對公式的推導不能蜻蜓點水,需要讓學生在過程中體會.公開課中,兩位老師都采用了多種方法來推導點到直線的距離公式,充分地展示了思維的多樣性,通過他們的問題鏈設計來進行對比分析.

教師甲教師乙問題1.你能寫出直線l:Ax+By+C=0的一個方向向量嗎?追問1:與直線l:Ax+By+C=0垂直的直線方程可以怎么設?它的一個方向向量又是什么呢?追問2:你能結合上述知識推導點P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離嗎?問題2.直線l:y=kx+b上的兩點的距離有哪些求法?追問:從你前面寫出來的兩點間距離公式出發,你能推導點P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離嗎?問題3.你能總結下有哪些可以優化代數運算的方法嗎?問題1.請回憶上節課學習的兩點間距離公式是什么?追問1:點P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離是哪兩個點的距離?追問2:你能用兩點間距離公式推導點P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離公式了嗎?問題2.上面的化簡運算量大,過程繁瑣,我們先回憶在直角三角形中我們是如何求斜邊上的高的?追問:基于上面的思想,你能構造直角三角形,并用類似的方法推導點P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離嗎?問題3.你還能想到別的方法嗎?向量法可以嗎?

兩位老師都用到了“向量法”和“定義法”,但教學順序發生了大顛倒.筆者特意就此請教過兩位教師,得到反饋后總結如下.

考慮到向量的工具性作用在上一節“兩點間距離公式”的推導中優勢微弱,甚至可能沒有提到,教師甲的問題設置尊重知識習得的最近發展區理念,逐步將學生引導到可以借用向量工具來推導公式,既避開了分類討論,又體現了平面向量的威力,有事半功倍的效果.但又考慮到學生有用定義法推導的想法,故設計了第二個問題.希望對比兩種方法,讓學生更好體會向量法的優勢.

教師乙尊重學生的自然思路,用定義法直入,讓學生在課堂上經歷了繁瑣的化簡,并投屏肯定了優秀學生熟練的代數變化技能.后又筆鋒一轉,為了避免多數同學由于代數運算復雜而產生的錯誤,將方法指向利用直角三角形推導點到直線的距離公式.

兩位教師看似理由都很充分,但仔細分析還是有點站不住腳.兩位教師的理由其實都是基于“這個公式怎么推導”的立場,呈現出來的是“知識點教學”的課時主義教學觀,而根本沒有考慮到“點到直線的距離公式”中的學科系統上的大概念.

我們知道在以核心素養為目標導向今天,“課時主義”的“就課論課”“只見樹木不見樹林”的教學觀已經無法承擔起發展核心素養的重任,單元教學才是根本出路.決定單元教學成敗的關鍵是能否將散布在教材中“具有關聯性”知識點按照一定的“邏輯”進行串聯、整合、重構,并形成相對完整的教學單元,從而實現單元教學“上接下聯”、貫通上位學科核心素養與下位課時教學目標之間承上啟下的作用[2].那么組成單元的“邏輯”到底是什么？如何確定“邏輯”呢？這就需要“怎樣培養人”的“大概念”教學中樞.也就是說,“大概念”引領“單元教學”的組織邏輯,它是一個比“單元教學”更加上位的概念.

2 “大概念”的內涵與特征

大概念可以被界定為反映專家思維方式的概念、觀念或論題,它具有生活價值,是“居于學科基本結構的核心概念或若干居于課程核心位置的抽象概念整合相關知識、原理、技能、活動等課程內容要素,形成有關聯的課程內容組塊”；而大概念教學則是以大概念為錨點組織教學的一種方式,具體說,就是以大概念確定教學的邏輯,圍繞大概念搭建核心觀點框架,依托大概念提升學生的能力和素養.對于數學學科教學,從大概念的本質特征、作用機理和教學功能上可以提煉出以下三點：

2.1 從本質特征上看,大概念是“原子核”

大概念就像一個原子核,隱藏于單元所有知識、原理的最深處,位于一般概念的高位,能夠統攝單元內所有下位的概念,具有普遍性解釋能力.如“函數是刻畫事物變化規律的重要模型”,“立體幾何研究現實世界中物體的形狀、大小與位置關系”,“統計的研究對象是數據,核心是數據分析”等.

2.2 從作用機理來看,大概念是“吸鐵石”

大概念如同一塊神奇的“吸鐵石”,魔術般吸附起各類相關概念,使它們系統、有序地緊密附著在“吸鐵石”上,并形成一個連貫“活”整體.如“數形結合是代數方法和幾何方法溝通的紐帶”,“數列求和的技巧要基于對數列性質的理解”,“各種各樣的函數都是通過基本初等函數的加、減、乘、除等運算或復合得到的”等.

2.3 從教學功能來看,大概念是“文件夾”

大概念類似于具有收納、整理功能的文件夾,它是一個蘊含豐富內涵的意義模式,為學生認識事物、構建知識提供了一個優質的認知框架和結構體系.“文件夾”在屬性上有顯性文件夾和隱性文件夾之分,如“三角函數學習線索：背景、任意角和弧度制—概念—基本性質—圖像和性質—三角恒等變換—函數y=Asin(ωx+φ)—應用”(顯性文件夾),“三角函數是圓函數”(隱性文件夾).

3 大概念引領下的的教學改進

克里斯提那·查莫斯從學科教育角度將“大概念”分了兩類：內容大概念和過程大概念.內容大概念主要指原理、理論或模型；過程大概念指獲取和使用知識時涉及的技能.分析內容和過程,結合上面對大概念的提煉,“點到直線的距離公式”這一課中的大概念應該如何把握？

3.1 立足學科系統提取“大概念”

大概念教學的第一步就是站在學科系統的高度從不同的層級提取大概念.內容大概念的提取不是簡單地從知識點中找出知識內容的重難點,而是需要站在學科系統高度,從具體內容出發,分析和挖掘內容背后的核心觀點.

“點到直線的距離公式”的關鍵字眼是“距離”,什么是距離？如果說把距離簡單理解成特殊的“兩點間距離”,那么用定義法推導“點到直線的距離公式”思路自然,方法大眾化,不涉及什么策略性知識,可以程序化.但怎么想到向量法？只是由于運算的復雜,我們才用向量投影引導學生從“繁”中解放出來嗎？教師甲問題1的前兩問看似尊重學生的已有認知,通過先讓學生回答“與已知直線垂直的直線的方向向量”問題再引向向量法解決問題,但是為什么最初要提到“方向向量”？教師乙在兩種方法推導公式后,以“你還能想到其他方法嗎？向量法可以嗎？”引出向量法.兩位老師都為了“講向量法”而勞心費力,設計了不同的引導方式.事實上,使用向量法技巧的動機問題始終沒有得到有效解決.問題還得回到“距離”的概念,距離的本質是什么？“距離是高維空間到低維空間的度量”這是一個超越歐氏空間的從“映射”角度對“距離”本質的回答.在這個大概念下,距離本身就是一個作投影的過程,于是向量法呼之欲出,借助向量正是充分利用了反應距離本質的垂直概念.

仔細讀“距離是高維空間到低維空間的度量”這個大概念,“度量”的大小可以放到“不等式”、“函數”、“幾何與代數”等課程框架內容中去解釋，會引出了均值不等式、柯西不等式、二次函數、三角函數、極限與導數、直線方程、向量方法、直角三角形等內容.基于這些知識的推導方法在課外材料中比比皆是,可以設置成一個小的“數學探究活動”.可見,大概念引領下的“距離”,就像“原子核”一樣,輻射出各板塊的知識,擁有駭然能量.

3.2 借助大概念建立知識間的關聯性

溫·哈倫指出“如果教學法并與不大概念的需要進行銜接,只是建議教學內容應該專注于大概念是沒有用的.”[3]上位概念如何銜接起下位概念,同層概念之間又該如何銜接？大概念本身就是一種“聯結”,大概念引領下的數學教學就是學科內的概念相互聯結、融會貫通的過程.聯結越多樣,認知結構層次之間就越容易融通.要建立概念之間的關聯性,就把看似孤立的知識點,按照一定的邏輯進行關聯,在揭示概念之間緊密聯系的同時也使學生的學習呈現出一種連續不斷的過程.當然,關聯不是教師直接告訴學生,而是在過程中不斷反思形成的.

反思“點到直線的距離公式”中定義法推出公式的過程,運算量較大是學生產生反感情緒的主要原因.但若望而卻步,回避代數化簡的過程,會將舊方法與新方法產生關聯的“結”斷裂開來.實際上,方法的“繁”與“簡”可以相互轉化,“簡”是從“繁”中演化出來.

(1)“簡”從“整體”中來

上述處理方法是“坐標平移變換”,也就是通過換元,令x′=x-x0,y′=y-y0,在新坐標系O-x′y′中推導出“點到直線的距離公式”.這些技巧形成的過程就是“大概念”.

(2)“簡”從“特殊”中來

教師甲問題2的設計意在希望學生能通過引入斜率k簡化公式推導中的代數運算復雜性,然而提問“直線l:y=kx+b上的兩點的距離有哪些求法”讓學生摸不著頭腦,上節課學的兩點間距離公式怎么突然轉到有斜率的直線上去了？這里缺少“從特殊到一般”這個大概念的引領,可以如下改進.考慮最特殊情形,即直線與坐標軸平行時，

在這里,數形結合地考慮,要實現“化繁為簡”,主要利用平行于坐標軸的線段來表示點到直線的距離,通過特殊與一般之間的關聯實現轉化,而在轉化過程中又要利用三家函數有關知識,使距離的表示更加簡單.

如圖,借助大概念建立知識間的關聯,好比“吸鐵石”吸硬幣的過程,對一個硬幣的磁化需要時間,然后別的硬幣靠近這枚硬幣時又會被持續吸引,最后形成一個“活”的連貫體.

3.3 學生在反思遷移中理解大概念

大概念類似“文件夾”,在具有收納整理功能的結構框架之內,學生能夠有效把握各經驗、事物、概念之間的聯系,并在相互關聯的有機整體中理解它們,獲得對知識的深度理解、持久記憶和廣泛遷移,在此基礎上形成學科思維,最終將大概念建構在個體的認知結構中,從而獲得知識、技能、習慣和品格等具體素養成分交互整合成的核心素養.

如果沒有大概念教學視角,我們看到的課堂小結是這樣的：請同學們自主回憶本節課我們解決了什么問題？用到了哪些方法？你體會到了哪些思想方法？然后師生共同總結出本節課我們解決了點到直線的距離問題,建立了點到直線的距離公式,值得注意的是,在這個過程中,用到了兩種經典方法.方法一是將點到直線的距離轉化為點到點的距離問題,體現了“轉化”的思想；方法二是用借助向量投影,輕松地得到了點到直線的距離公式,體現了“降維”的數學思想,感受向量工具的強大作用,以后可能還會用到.

在大概念視角下,知識的框架傾向于設計以下問題：什么是距離？距離的本質是什么？我們為什么會想到向量法？你在定義法直接代入兩點間距離公式來推導點到直線距離公式遇到的最大困難是什么？從哪些角度可以克服這些困難？這些問題的設計要基于教師對大概念的理解,合理融入到教學的各個環節,搭建起完整的結構體系.

總之，大概念統攝下的教學關鍵環節的轉變是對傳統數學教學樣態的創新改革,也是對學科核心素養落地路徑的積極嘗試和有效探索.深刻理解、科學提取大概念,依據大概念進行教學設計、實施的過程,有助于教學從零散走向系統,從“被動灌輸”走向“自然內化”,從狹隘走向廣闊,同時可以幫助學生構建優質的學科知識結構,提高學生遷移運用知識解決復雜問題的能力,進而發展學生的核心素養,真正實現學科育人.