巧用同構思想妙解一類指對混合壓軸題

福建省永春第一中學 (362601)

劉文哲 張隆億

對方程或不等式進行變形轉化，使其左側和右側具有相同的結構形式，再通過構造單調函數處理.對于具有混合指數對數的問題，通常可以通過指數和對數的相互變換實現局部同構.問題可以轉化為相應函數單調性或函數最值，這大大降低了計算和求解(證明)的難度.它是數學核心素養如邏輯推理和數學建模的有效媒介，受到高考命題者的青睞.本文提出了指數與對數等式(不等式)的同構方法，并對含指數對數壓軸問題的同構解法進行了梳理.

一、同構的常見方法

1 利用x=lnex，x=elnx(x>0)進行冪指、冪對轉換同構

2 對等式、不等式兩邊取指數、對數進行同構

2.1 積型aea1)?a+lna

二、常見命題手法

1 命題手法1：運用同構思想，轉化為h(m(x))形式的式子.

對函數式同構轉化，根據結構特點，構造一個對應的函數y=h(x)，將涉及函數式h(m(x))問題，轉化為這兩個函數y=h(x)，y=m(x)的最值，達到簡化難度的目的.這類試題通常以參數范圍和不等式證明等形式進行考查.

2 命題手法2：運用同構思想，轉化為h(m(x1))=h(n(x2))形式的等式.

對等式兩邊同構轉化，構造函數y=h(x)，等式可以轉化為h(m(x1))=h(n(x2)).若函數y=h(x)是單調的，等式可簡化為m(x1)=n(x2)，從而簡化等式，化繁為簡.試題常以化簡求值，變量的最值等形式進行考查.

例2 (2021孝感期末)若x0為函數f(x)=e2lnx+x-2+lnx-2的一個零點，則e2-x0+lnx0的值為.

解析：根據題意，令f(x)=0，得e2lnx+x-2=2-lnx，兩邊取對數可得2lnx+x-2=ln(2-lnx)，即lnx+x-(2-lnx)=ln(2-lnx)，得到lnx+x=ln(2-lnx)+(2-lnx)，設h(x)=x+lnx，x∈(0,+∞)，則h(x)=h(2-lnx).結合h(x)的單調性可得x=2-lnx，由函數零點的定義可得x0=2-lnx0，所以e2-x0+lnx0=elnx0=x0+2-x0=2.

3 命題手法3：運用同構思想，轉化為含有h(m(x1))及h(n(x2))的不等式

對不等式的兩邊進行同構變換，構造一個對應的函數y=h(x)，將原不等式可以轉化為含有h(m(x1))及h(n(x2))的不等式，以達到簡化不等式結構的目的.試題通常以不等式證明和參數范圍等形式進行考查.

3.1 若函數y=h(x)是單調的，則不等式h(m(x1))n(x2))，從而大大簡化不等式.測試題通常以不等式的證明或參數的范圍等形式出現.

例4 (2020山東21節選)若aex-1-lnx+lna≥1，試求實數a的范圍.

解析：將aex-1進行同構變形為ex-1+lna，則不等式aex-1-lnx+lna≥1可整理為ex-1+lna+lna-1≥lnx，兩邊同加x可得ex-1+lna+lna+x-1≥lnx+x，即ex-1+lna+lna+x-1≥lnx+x=elnx+lnx.令h(x)=ex+x，則h(x-1+lna)≥h(x)，可由函數h(x)單調性，得x-1+lna≥x，即lna≥lnx-x+1.利用導數工具可得函數y=lnx-x+1的最大值為0，所以a的取值范圍為[1,+∞).

例5 若函數f(x)=lnx-x+1，函數g(x)=axex-4x，a>0，證明：g(x)-2f(x)≥2(lna-ln2).

解析：由axex=ex+lnx+lna可知要證的不等式axex-2x-2lnx-2lna≥2-2ln2可化為ex+lnx+lna-2(x+lnx+lna)≥eln2-2ln2.設h(x)=ex-2x，則h(x+lnx+lna)≥h(ln2).該不等式證明等同于證明函數h(x)的最小值h(ln2)，利用函數h(x)的單調性加于驗證即可.

3.2 結合轉化后不等式h(m(x1))+h(n(x2))<0，不等式的證明可h(x)<0推出.含有雙元x1、x2不等式證明，可化歸為函數y=h(x)的值域求解，達到化繁為簡的目的.

3.3 結合m(x1)n(x2))及h(m(x1))

例7 (2022泉州質檢二)已知函數f(x)=ax-ex，?x∈(1,+∞)，f(x)

解析1：由alnx+a-ex=a(lnx+1)-elnx+1，得f(x)f(x)對一切x∈(1,+∞)恒成立.結合切線不等式及x∈(1,+∞)，得1

簡而言之，能直接使用同構的混合指數和對數的導數試題不多.在許多情況下，需要用指數和對數同構技巧，嘗試轉換為三種常見的同構形式.解決這類含有指數對數導數試題的關鍵是同構變換，進而構造一個對應函數，將問題轉化為函數單調性或函數范圍，化難為易，突破解題的障礙點.這類含指數對數壓軸題同構解法事實上就是數學建模中建模、解模的過程.在這類導數壓軸題求解過程中引入了建模方法，教師應引導學生從不同的角度思考，對同一個問題建立不同的數學解模型，讓學生從多個角度學習，尋找不同的問題解決方法，培養創新意識，使他們在面對復雜的函數和導數問題時能夠有章可循，一方面提高學生的數學建模技能，另一方面使學生養成有意識地運用數學建模思想解決問題的習慣，往往能達到事半功倍的效果.