“齊次式”在求解圓錐曲線問題中的妙用

江蘇省太倉高級中學 (215400)

方明生

“齊次式”在三角函數及不等式等問題中應用較為廣泛，近些年在圓錐曲線模塊中出現較為頻繁.圓錐曲線問題求解帶給學生最大的煩惱就是運算量大，在平時的做題中，不少的學生沒有形成正確的學習方法，缺少對題型的歸納整理和思考，通常采用常規的方法進行運算，思路是正確的，但運算能力不足使得運算出錯，導致“會而不對”的尷尬局面.本文結合例題，從學生的角度出發，對斜率的和(積)為定值的這類題進行歸類，利用“齊次式”法進行巧妙解答，避免繁瑣的運算，做到知一題，會一類的效用.

一、斜率之積為定值

例1 (2017年全國Ⅲ卷·理20)已知拋物線C:y2=2x，過點(2,0)的直線l交C于A,B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓.(1)證明：坐標原點O在圓M上；(2)略.

二、斜率之和為定值

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)設直線AF,BF的斜率分別為k1,k2(k2≠0)，求證：k1+k2為定值.

三、直線過定點

(1)求橢圓C的方程；

(2)設A為橢圓C的右頂點，直線l是與橢圓交于M,N兩點的任意一條直線，若AM⊥AN，證明直線l過定點.

保險柜在書房里，他匆忙把那些東西收起來，鎖好，起身正要離開，看到了電腦桌上的紅色外套的蘋果手機，那是妻子的。看到妻子的手機，他不由得想到了妻子對手機小心謹慎的樣子。睡覺時她必需把手機放在自己的枕頭底下，同時迅速瞥一眼尹愛群。出門時必要隨身攜帶，從來沒有人機分離的情況。這個現象讓尹愛群一直感到奇怪，難道妻子的手機里藏著什么隱秘？可是現在，妻子的手機就在自己的手里，可以隨意查看，是妻子有意為之還是一時疏忽？

評注：本題已知斜率積為定值，去證明直線恒過定點，此題還可以改編為kAM+kAN=a(a為實數且a≠0),去證明直線過定點，此類題均可通過構造齊次式去求解，但在實際運算中一定要搞清楚直線l與直線l′、圓錐曲線C與C′的區別和聯系.

(1)求橢圓C的方程；

(2)經過橢圓右焦點F且斜率為k(k≠0)的動直線l與橢圓交于A、B兩點，試問x軸上是否存在異于點F的定點T，使|AF|·|BT|=|BF|·|AT|恒成立？若存在，求出T點坐標，若不存在，說明理由.

評注：本題第二問難度較大，需要通過|AF|·|BT|=|BF|·|AT|得到面積之比，再通過三角形的面積公式得到兩條直線的夾角互補，從而得到斜率之和為0，在運算的時候理清思路，選擇恰當的方法可以有效的節省求解時間.

四、斜率的和(積)為定值

圖1

(2)若過點B且斜率為k的直線交橢圓于M、N兩點(點C與M、N兩點不重合)，且直線CM、CN的斜率分別為k1、k2，試證明k1+k2-2k為定值.

通過以上幾個例子我們可以看出，利用齊次式解決斜率的和(積)與直線過定點問題，能夠降低運算量，提升運算的準確性.通過對此類題型的分析，總結出以下解題步驟：

(4)利用韋達定理列出斜率之和(積)的等式；

(5)根據題意求出斜率之積(和)或根據它們是定值求出直線所過定點的坐標.