一道平面幾何問(wèn)題的另證

龔浩生　熊小平

《數(shù)學(xué)通報(bào)》2007年7月號(hào)問(wèn)題1683為：

在鰽BCD中，過(guò)A、B、C三點(diǎn)作圓交BD于E，過(guò)B、C、D三點(diǎn)作圓交CA延長(zhǎng)線于F.求證：BD?BE=AC?CF.

原解運(yùn)用“玴tolemy”定理，結(jié)合相似變換，得出兩個(gè)等式后，使結(jié)論獲證.

經(jīng)研究，我們發(fā)現(xiàn)此問(wèn)題證法靈活，難易適度，是一道適合奧賽訓(xùn)練的好題.現(xiàn)給出幾種更為簡(jiǎn)潔自然的證法，供參考.

證法一：如圖1所示，連結(jié)BF、DF，由B、C、D、F四點(diǎn)共圓，及AB∥CD，有∠BFC=∠BDC=∠ABD，∠CFD=∠CBD,所以，∠BFD∠ABC.

又∠BDF=∠BCF=∠ACB，所以，△BDF∽△ACB.

所以，BDAC=BFAB.

同理△CDF∽△ECB，有CFBE=CDEC，由∠BAF=180°-∠BAC=180°-∠BEC=∠CED,及∠BFA=∠CDE,得：△ABF∽△ECD.∴BFCD=BACE，即BFBA=CDCE.∴BDAC=CFBE.

∴BD?BE=AC?CF.

證法二：如圖1，連結(jié)BF、DF、CE，由B、C、D、F四點(diǎn)共圓，設(shè)共圓半徑為R，則由正弦定理得：BD玸in∠BFD=2R=CF玸in∠CDF，故BDCF=玸in∠BFD玸in∠CDF.同理，由A、B、C、E四點(diǎn)共圓，得：ACBE=玸in∠ABC玸in∠BCE.

由證法一，∠BFD=∠ABC,∠CDF=∠BCE.∴玸in∠BFD玸in∠CDF=玸in∠ABC玸in∠BCE.

∴BDCF=ACBE，即BD?BE=AC?CF.

證法三：如圖1，設(shè)AC與BD相交于O，則OB=OD,OC=OA.由A、B、C、E四點(diǎn)共圓，得：OB?OE=OC?OA ①

同理，OB?OD=OC?OF ②

①+②得：OB(OE+OD)=OC(OA+OF)，即：OB?(OE+OB)=OC?(OC+OF).

∴2OB?BE=2OC?CF.即BE?BD=AC?CF.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”