淺析數學思想方法在高中數學解題中的應用

[摘" 要] 在新課程理念的指導下，數學教學不僅要注重基礎知識和基本技能的教授，更應注重引導學生探索知識的形成、發展及其應用過程中的數學思想和方法，旨在培養學生可持續學習的能力和必需的品質. 在日常教學中，教師應著重引導學生運用數學思想和方法來解決問題，從而提升學生的解題精確度和效率，促進學生數學素養的全面發展.

[關鍵詞] 數學思想方法;解題準確率;解題效率;數學素養

在高中數學教學中，教師應有意識地向學生滲透數學思想和方法，這既是新課程改革的要求，也是推動學生可持續發展的關鍵. 在實際操作中，教師不僅要注重知識的傳授，還應引導學生關注知識的形成過程，并且重視揭示知識背后所蘊含的數學思想和方法，從而培養學生可持續學習的能力和必需的品質. 筆者通過探討一些常見的數學思想和方法，闡述滲透它們的重要性.

分類討論思想方法

在解題過程中，經常會遇到一些結論不唯一的問題. 對于此類問題，往往需要合理分類、逐一研究才能解決. 將分類討論思想方法恰當地應用于解題過程中，可以將錯綜復雜的數學問題簡單化、清晰化和條理化. 這不僅能夠提升學生的解題精確度，還能增強他們全面分析和解決問題的能力，同時培養他們嚴謹的學習態度. 值得注意的是，在進行分類討論時，必須確保標準統一，避免結論出現重復或遺漏.

例1 已知集合A={x

x2-5x+6=0}，B={xmx+1=0}，且A∪B=A，求實數m的值所組成的集合.

數形結合思想方法

數形結合就是通過數與形的相互轉化把問題對應起來，從而使復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化. 通過合理的轉化，幫助學生認清問題的本質，順利找到解決問題的突破口. 在解方程、函數、不等式、三角函數等問題中，數形結合思想方法具有顯著的應用價值. 在解題過程中，掌握數與形之間的內在聯系，不僅能夠揭示解題路徑，還能夠避免冗長的計算和推理，從而提升解題效率并增強解題信心.

例2 已知函數f（x）是定義域為R的奇函數，且在區間[0，2]上是增函數，滿足f（x-4）=-f（x）. 若方程f（x）=m（mgt;0）在區間[-8，8]上有4個不同的根x，x，x，x，求這4個根的和.

解析 根據已知條件不難發現，函數f（x）是以8為周期的周期函數，且圖象關于直線x=2對稱. 又函數f（x）在區間[0，2]上是增函數，所以函數f（x）在[-2，0]上也是增函數. 根據以上分析，易得圖1所示的圖象. 不妨設xlt;xlt;xlt;x，結合圖象可得x+x= -12，x+x=4，所以4個根的和為-8.

可見，通過合理運用數形結合思想方法，能使問題變得更加直觀，大幅簡化計算過程，有利于提升解題效率. 在日常教學中，教師應重視滲透數形結合思想方法，使學生充分體驗其在解題中的優勢，逐步培養學生的數形結合意識，讓學生真正做到心中有數、見圖想數，從而拓寬學生的視野，增強學生的解題信心.

函數與方程思想方法

函數與方程是高中數學的重要內容，在歷年高考試題中，對函數與方程及其思想方法的考查貫穿于代數、數列、三角、幾何等知識和題型. 盡管函數與方程是兩個不同的概念，但它們之間存在著密不可分的關系. 在面對方程問題時，可以將其轉化為函數問題，建立函數關系后利用函數的圖象及其性質來求解. 同樣，在面對函數問題時，可以將其轉化為方程問題，利用方程的相關知識來求解. 通過方程與函數的相互轉化，可以形成更有效的解題思路，提高解題效率.

例3 已知{a}是等差數列，若S=10，S=50，則S=______.

由于數列是特殊的函數，因此遇到數列問題時，可以將數列納入函數的范疇，利用函數的理論和性質進行分析和求解. 這樣做可以豐富解題方法，優化解題路徑，提升解題效率. 在日常教學中，教師應引導學生從不同角度分析和解決問題，讓學生深刻體驗解題方法的多樣性，從而拓寬學生的視野，發散學生的數學思維，提高學生分析和解決問題的能力.

等價轉化思想方法

許多數學題目既抽象又復雜，而恰當運用等價轉化思想方法則能將這些抽象問題變得直觀，將復雜問題簡單化，從而有效降低解題難度并提高解題效率. 在高中數學領域，轉化思想方法的應用尤為廣泛，例如將復數問題轉化為實數問題，將三維空間問題簡化為平面問題……因此，在日常教學中，教師要重視滲透等價轉化思想方法，通過恰當的問題變換和整合，將復雜問題轉化為學生熟悉且易于掌握的形式，有效提高解題的實效性.

例4 設不等式2x-1gt;m（x2-1）對滿足m≤2的一切實數m都成立，求實數x的取值范圍.

合理運用等價轉化思想方法，在提升學生數學解題效率、培養學生數學思維能力等方面具有顯著的價值，它是解決復雜問題的重要手段. 值得注意的是，等價轉化思想方法具有極高的靈活性. 在實際應用中，教師應引導學生優先設計有效的等價轉化思路，以避免解題時出現失誤，從而切實提升解題的準確性和效率.

整體思想方法

整體思想方法強調從問題的整體結構和形式入手，全面理解內部各要素之間的聯系，以此有效提升解題效率. 在解題過程中，學生往往難以找到恰當的解題策略，這不僅是因為他們對數學知識的理解不充分、不到位，而且還有一個重要的原因是學生缺乏整體意識.

例5 已知{a}為等比數列，且agt;0，aa+2aa+aa=25，則a+a=_____.

解析 在求解a+a的值時，多數學生首先考慮的是先確定數列的首項和公比，接著分別計算出它們的值再相加. 然而，鑒于題設條件難以確定數列的首項和公比，這種方法顯然不適用. 在求解該題時，可以將首項a和公比q視為一個整體. 由aa+2aa+aa=25可得[a（q4+q2）]2=25，又agt;0，所以a（q4+q2）=5，a+a=aq2+aq4=a（q2+q4）=5.

在解決某些數學問題時，若單獨求解一個變量可能導致計算過程復雜或中斷. 在這種情況下，將多個表達式組合成一個整體來考慮，可以有效減少或避免計算的復雜性和中斷的風險，從而提升解題效率.

總之，數學思想方法是數學的精髓和靈魂，是培養學生數學能力和數學素養的重要手段. 在高中數學日常教學中，教師應不失時機地滲透數學思想方法，使學生更高層次地理解相關知識和思想方法，并自覺地運用數學思想方法分析問題和解決問題，從而促進學生的可持續發展，并切實提高教學有效性.