解析探索性問題,總結通性通法

[摘" 要] 圓錐曲線探索性問題在高考中十分常見，探究問題類型、總結通性通法、形成有效的解題策略至關重要. 文章以圓錐曲線探索性問題為例，探討解題過程，總結解題方法，并結合實例強化應用，提出相應的教學建議.

[關鍵詞] 圓錐曲線;探索性;存在性;假設

圓錐曲線探索性問題是一類經典難題，結論不確定，需要學生結合條件，采用“假設—推論—定論”的思路進行探索分析. 接下來具體探究.

引例

如圖1所示，直線l是拋物線C：x2=2py（pgt;0）的準線，直線l：3x-4y-6=0與拋物線C沒有公共點，動點P在拋物線C上，點P到直線l和l的距離之和的最小值為2，試回答下列問題.

（1）求拋物線C的方程;

（2）點M在直線l上運動，過點M作拋物線C的兩條切線，切點分別為P，P，在平面內是否存在定點N，使得MN⊥PP恒成立？若存在，請求出定點N的坐標;若不存在，請說明理由.

解析 （1）該問求的是拋物線C的方程，核心條件是“點P到直線l和l的距離之和的最小值為2”，需要基于該條件解析位置關系、構建距離模型.

（2）該問為圓錐曲線探索性問題——分析定點是否存在，核心條件是“MN⊥PP”. 該類問題解析通常采用的是“假設—推論—定論”思路.

假設存在定點N使得MN⊥PP. 由（1）問可知直線l的方程為y=-1，當點M在特殊位置（0，-1）時，顯然切點P，P關于y軸對稱，點N必然在y軸上.

評析 第（2）問為圓錐曲線探索性問題——探索是否存在定點N使得MN⊥PP恒成立，解析采用的是“假設—推論—定論”思路，即假設存在，再結合條件推導是否真實存在. 解析過程有兩大關鍵點：一是針對核心條件，充分利用幾何與向量之間的對應關系，將其轉化為向量積條件;二是深入分析點、曲線、直線之間的位置關系，推導關鍵點的位置.

探索總結

圓錐曲線探索性問題是高中數學的重點和難點問題. 實際上，探究解析可以按照特定的方法和思路進行. 因此，在探究解析的過程中，可以適當地總結方法和思路，形成相應的通性通法. 下面進行探索和總結.

1. 破解思路

圓錐曲線探索性問題，其結論具有不確定性，求解可以采用“假設—推論—定論”思路，分三步進行.

第一步，假設結論是成立的，即對結論進行肯定性的假設;

第二步，推理驗證結論，即從肯定的假設出發，結合已知條件進行邏輯推理和論證;

第三步，確定結論，即若推導過程中出現了矛盾，則否定先前的假設（否定型），并重新進行推導;若推導出的結論合理，則表明先前的假設是正確的（肯定型），從而完成解答.

2. 技巧總結

圓錐曲線探索性問題的類型多樣，探索的內容極為豐富，常見的有常數存在、點存在、直線存在、最值存在等. 對于不同類型的探索性問題，可采用不同的方法技巧求解. 下面進行具體分析.

（1）解決常數存在型探索問題，先假設常數存在，然后嘗試求出符合條件的參數值. 若推導過程中出現了矛盾，則說明常數不存在，否則就存在.

（2）解決點存在型探索問題，有兩種方法：一是依據條件直接得出結論;二是先舉出特例，然后再證明，若存在反例，則說明點不存在.

（3）解決直線存在型探索問題，先依據條件尋找適合條件的直線方程，然后聯立方程并消元得到一元二次方程，再利用判別式判定是否有解（是否存在）.

（4）解決最值存在型探索問題，先依據條件得到函數解析式，然后利用該解析式來判定其最值是否存在，并求出最值.

舉例探究

圓錐曲線探索性問題較為常見，且類型多樣，在具體探究時，可以采用上述方法和技巧. 下面結合實例進一步解析探究.

1. 直線存在型探索問題

（1）試求橢圓C的標準方程;

（2）分析是否存在過點Q（0，-1）的直線l，交橢圓C于M，N兩點，使得∠MPF=∠NPF？若存在，請求出直線l的方程;若不存在，請說明理由.

（2）假設存在滿足題意的直線l，下面探究定論.

評析 第（2）問探究的是圓錐曲線中的直線是否存在，屬于直線型探索問題. 解析時假設其存在，圍繞核心條件“∠MPF=∠NPF”構建思路：聯立方程后通過韋達定理，將幾何等角轉化為與斜率相關的關系式，再求解論證.

2. 常數存在型探索問題

（1）求雙曲線T的方程;

（2）經過點M（-3，0）與x軸不重合的直線l與雙曲線T相交于兩個不同點A，B，點N（2，0），直線AN，BN與雙曲線T分別相交于另一點C，D. 若直線l與直線CD的斜率都存在，并分別設為k，k，分析是否存在實常數λ，使得k=λk？若存在，求出λ的值;若不存在，請說明理由.

（2）該問探究是否存在常數λ使得k=λk成立，可采用“假設—推論—定論”的思路求解.

綜上可知，存在實常數λ，使得k=λk，且λ=-19.

評析 第（2）問探究是否存在常數使得與斜率相關的關系式成立，屬于常數型探索問題，可采用“假設—推論—定論”的思路求解. 求解該問，運用到了設而不求、類比等方法，即聯立直線與雙曲線的方程，轉化代數式條件推導直線的斜率，求解關鍵點的坐標，獲得斜率比值，從而解決問題.

解后思考

針對圓錐曲線探索性問題，本文進行了深入的通性通法的研究，總結了有效的解題策略和技巧. 通過結合具體實例，加強了這些方法的應用，其探究思路具有一定的參考價值. 下面展示解后反思，提出三點教學建議.

1. 關注基礎知識，強化方法技巧

圓錐曲線綜合題的解析難度較大，考題往往涉及眾多知識點，解析時需要對條件和問題進行拆分整合. 在探究教學中，需要重視基礎知識和方法技巧的靈活運用，以簡化運算過程. 以上述圓錐曲線探索性問題為例，需要關注圓錐曲線、幾何圖形的性質定理，向量、不等式等相關知識，以及方程求解方法、斜率構建方法、韋達定理、幾何向量轉化思路等. 在教學引導時，可從圓錐曲線的知識點入手，引導學生梳理考點，構建知識體系，幫助學生鞏固基礎知識，強化方法技巧.

2. 探索解題思路，總結通性通法

圓錐曲線探索性問題的拓展性極強，對學生解題能力的要求較高. 實際上，針對這類問題，可以采用特定的解析模板，即通性通法，例如上述總結的解題策略和方法技巧. 在進行教學引導時，可以從以下三個方面著手：一是圍繞高考重點梳理和歸納探索性問題類型;二是總結解題方法和思路，形成分步策略，并引導學生理解每一步的核心內容;三是分析不同類型問題的特征，總結相應的解題方法和技巧.

3. 開展解題訓練，反思解題過程

在探索性問題的探究中，教師要重視開展解題訓練，即結合實例引導學生重視過程分析，在該環節中注意靈活運用通性通法，合理構建解題思路，完成適度的反思總結，內化吸收解法. 在教學中，教師需要注意以下三點：一是按照“條件分析—思路構建—過程解析—評析總結”的流程逐步引導學生進行深入探究;二是注重對學生思維的引導，關注他們的思維動態，并提出合理的問題;三是開展解題反思，包括問題特點、思路構建、方法優化等.