核心素養背景下對“橢圓的定義”同課異構的探索與感悟

[摘" 要] 每位教師都擁有自己獨特的思維和授課方式，那么，哪種方式在培養學生數學學科核心素養方面更為有效呢？文章以“橢圓的定義”教學案例為切入點，比較分析兩位教師在“課堂導入”“知識探索”和“課堂總結“三個環節的教學策略. 同時，強調“以生為本”的教育理念，為培養學生核心素養打下堅實基礎.

[關鍵詞] 核心素養;橢圓;同課異構

隨著新課改的深入實施，當前的高中數學教學對教師的專業能力提出了更高的要求. 考慮到教師專業水平的多樣性，面對相同的課程內容，不同的教師會設計出截然不同的教學方案. 那么，究竟哪一種教學方案更符合課程標準的要求，并且對培養學生的核心素養更具價值呢？針對這一問題，筆者進行了深入探索，對“橢圓的定義”這一課題的不同教學方案進行了比較和分析.

課堂導入環節

1. 教師甲的導入

利用信息技術工具展示太陽系內行星的運行軌跡圖，引導學生描述這些行星的運動軌跡屬于何種曲線類型.

生1：是橢圓形的曲線.

師：你是怎么確定這些曲線是橢圓形的？

生1：在課外書上看到過，地理老師也提到過.

師：不錯，能否再列舉一些生活中常見的橢圓形實例？

生2：雞蛋的縱截面、灌油車的油罐截面等.

師：看來大家的生活經驗都很豐富，這正是我們本節課將要探討的主題——橢圓（板書）.

2. 教師乙的導入

師：（教師進行模擬實驗，用手電筒照射小球）這個實驗模擬了太陽光照射地球的情形. 現在，誰能描述一下當平行光線垂直于桌面時，通過球體投射出的影子是什么形狀的呢？

生3：是圓形.

師：可以找到圓心嗎？

生4：圓心應該就是球體與桌面接觸的點，即切點.

師：我們都知道，圓上任意一點到其切點（圓心）的距離是恒定的. 然而，當平行光斜射到球體上時，形成的影子輪廓上各點與切點的距離卻呈現了長短不一的現象. 除了這種差異，是否還有其他規律存在呢？

3. 類比分析

兩位教師的課堂導入方法截然不同. 教師甲采取傳統方法，通過設定情境和提出問題，迅速讓學生聚焦于本節課的主題——橢圓. 而教師乙則利用實驗模擬太陽光照射地球產生的圓形輪廓，逐步引導學生進入即將探索的知識領域.

對比兩位教師的導入方法，可以看出教師甲的方法更為直接，而教師乙的方法則更為生動有趣，更能激發學生的探索興趣. 學生通過這個平緩的實驗過程，能夠深刻體驗圓曲線和橢圓曲線的形成原理. 因此，教師乙的導入方法更符合新課標所提倡的“四基”與“四能”以及“三會”能力的培養，其教學效果也顯得更為出色.

知識探索環節

1. 教師甲的教學

師：（用PPT展示圓形握力器）大家觀察握力器的外形，想象一下，該如何將這個握力器變成橢圓形？

生5：可以用擠壓法.

師：從這個過程可知橢圓大概是怎么形成的嗎？

生6：擠壓圓而來.

師：不錯，當我們均勻地壓縮一個圓，就會形成類似于橢圓的形狀. 想要確定它是否一定為橢圓，需要進一步深入探索.

如圖1所示，若點P為圓x2+y2=16上的任意一點，過點P作PD與x軸垂直，D為垂足. 當點P在圓周上運動時，求點M（線段PD的中點）的軌跡方程，并分析點M的運動軌跡.

由于學生已經對“曲線與方程”“圓”等知識有了初步的理解，因此可以引導他們探索動點M的軌跡方程. 同時，對于那些解題時遇到困難、認知經驗尚淺的學生，給予適當的指導. 隨后，利用幾何畫板讓點P緩慢地沿圓周運動，以便所有學生觀察點M的軌跡形狀.

生7：是橢圓形.

師：類比圓的定義，大家能否根據定點和定長給橢圓下一個定義呢？

學生通過合作討論，一致得出結論：由于圓在壓縮后可以形成橢圓，因此從定義上講，橢圓也可以通過定點和定長來確定.

師：圓有一個定點，那么橢圓有幾個定點呢？橢圓是否具有定長呢？

生8：橢圓有兩個定點，可用F，F來表示，連接FM，FM，可得FM+FM=8.

師：哦？是怎么發現的？

生8：教材上寫了.

師：看來你的預習工作做得不錯，要繼續保持哦. 如圖2所示，通過幾何畫板的演示，我們發現，當點M處于y軸上時，FM+FM=8. 現在請大家思考：若點M處于橢圓周上的其他位置，FM+FM=8依然成立嗎？

如圖3所示，當點P在圓周上緩慢運動時，點M隨著點P的運動而沿著橢圓軌跡緩慢移動. 與此同時，線段FM和FM的長度會相應地發生變化. 然而，無論這些變化如何，FM+FM的值始終保持恒定.

師：通過幾何畫板的演示，我們可以看到橢圓周上任意一點到兩個定點的距離之和始終是恒定的. 那么，這個現象能否得到數學上的證明呢？

師：很好，這位同學借助代數法驗證了結論.

2. 教師乙的教學

師：如圖4所示，請大家觀察幾何畫板模擬的平行光照射球體的情形，并思考可將橢圓形影子視為什么.

生10：可視為平面和圓柱面的交線.

師：不錯，假設點F為球體與平面的切點，于橢圓形上任意取點P，并連接FP，那么過點P的光線QP則與球體在點Q的位置相切. 當點P運動時，圖中哪些元素會發生變化？哪些元素保持恒定不變？（從點、線、面的角度進行分析）

生11：在此過程中，線段FP的長度發生了變化，具體表現為“先長后短”.

生12：我發現FP一直位于平面上，而QP則固定在圓柱面上.

生13：線段FP，QP都與球體相切，并且長度相等.

……

師：不錯，觀察發現無論點P處于什么位置，FP的長度與QP的長度恒等. 鑒于QP處于圓柱面上，因此更便于研究. 現在我們豎直放置圓柱面來探索QP的長度變化具有怎樣的規律. 想要研究圓柱面上的平行線問題，通常應如何處理？

生14：通常將圖形展開后再探索.

師：如圖5所示，現在大家共同觀察展開過程（將課前準備好的紙片平鋪展開，并用不同顏色進行標注）. 接下來，取出課前準備的彩色卡紙，以6人為一組的形式進行合作學習，以期探索出有價值的信息.

如圖6所示，學生通過自主合作交流，得出了三種不同的情況. 基于這三種情況，學生歸納出了以下結論：①拼成矩形時，線段之和為一個定值;②拼成類似正弦曲線的圖形;③拼成曲線四邊形時，目測線段之和為一個定值. 對于這些方案的合理性，師生之間展開了深入的探討.

生15：在我看來，圖6②僅僅是圓柱的展開圖，并未反映出探索過程.

生16：我認為圖6③這個圖形不太好研究，盡可能不用.

經過討論，學生普遍認為圖6①展示的方法最為合理，原因在于從矩形的角度分析，兩條線段的總和始終保持不變.

師：不錯，接下來我們繼續使用幾何畫板來操作. 如圖7所示，在圖形下方添加一個圓柱面，當點P的位置發生變化時，QP+RP的值保持恒定. 從對稱性的角度分析，圖形上方存在一個球體與截面相切的關系. 這讓我們能聯想到什么呢？

生17：圖形下方同樣存在一個相切的球.

師：不錯，若點E為切點，結合以上分析，可獲得什么數量關系？

生18：可得EP=RP，且EP+FP為定值.

師：非常好！這個性質是否對橢圓上所有點都成立？

生19：是的.

師：如圖8所示，我們繼續使用幾何畫板從度量的角度分析橢圓所在的平面，發現EP+FP恒為定值.

師：當截面的角度發生改變時，橢圓也會隨之變化，那么EP+FP的值是否仍然保持不變呢？（用幾何畫板演示驗證）

3. 類比分析

兩位教師均通過模型模擬來闡釋橢圓的形成. 從模型分析的角度來看，教師甲所使用的模型更為簡單明了，探索過程也較為容易，基本不會給學生帶來理解上的困難. 相對而言，教師乙所采用的模型較為復雜，探索難度較大，需要教師適時指導和引導才能幫助學生理清思路，因此學生在這一過程中的理解難度也較大.

兩位教師的探索過程各有特色，要評價誰更優誰更劣，需要從教師的引導方向以及是否滿足學生認知需求等多方面進行綜合分析. 兩位教師都利用信息技術工具（如幾何畫板）將復雜的數學概念直觀化，有效提升了教學效果，學生也通過直觀的圖象演示，清晰地理解了變量與常量.

從數學文化的角度來看，教師乙在知識探索過程中運用了比利時數學家旦德林提出的方法. 這種充滿數學特色的探索方式，一方面成功激發了學生的思維，使他們積極參與到探索活動中，另一方面也有效提升了學生的數學直觀想象能力和模型構建能力. 因此，教師乙的教學方法充分體現了新課標對課堂教學的要求.

課堂總結環節

1. 教師甲的小結

師：本節課主要探討了橢圓的定義及其基本性質，以及如何運用這些定義來解決實際問題. 課程到此結束.

2. 教師乙的小結

師：本節課主要探討了橢圓的定義及其基本性質，現在請同學們分享一下你們對本節課教學的感受和體悟.

生20：通過本節課的學習，我不僅掌握了橢圓的定義，還明確了定義的由來.

生21：通過本節課的學習，我不僅明確了橢圓的歷史形成過程，還感知了豐富的數學思想.

……

3. 類比分析

教師甲的小結簡潔明了，將教學重點描述了一遍. 教師乙則再次將表述的機會讓給了學生，鼓勵學生自主談一談收獲與感悟，增加了學習樂趣. 因此，筆者認為教師乙的總結方法更貼近新課標的要求.

綜上所述，在核心素養的背景下，數學教學應當深入關注知識的構建與演進過程. 教師需要在激發學生學習興趣的同時，為他們創造更多的探索空間，使學生成為課堂真正的主體.