逐層遞進,應(yīng)用變式促進深度學(xué)習(xí)的發(fā)生

[摘" 要] 數(shù)學(xué)是思維的體操. 如何在變式教學(xué)中踐行深度學(xué)習(xí)理念，拔高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維呢？研究者以核心概念為出發(fā)點，在例題展示的基礎(chǔ)上，從解題思路、變式應(yīng)用、推廣延伸三個維度例析“直線與拋物線”的解題教學(xué)，并提出幾點感悟：由淺入深設(shè)計變式可推進思維發(fā)展，時刻滲透數(shù)學(xué)思想方法可拔高思維，適度推廣可促進深度學(xué)習(xí)真實發(fā)生.

[關(guān)鍵詞] 變式;推廣;思維;深度學(xué)習(xí)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》強調(diào)教師在教學(xué)中，不僅要關(guān)注課堂的“教”，還要注重學(xué)生的“學(xué)”，要想方設(shè)法激活學(xué)生的思維，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生內(nèi)驅(qū)力. 但部分教師仍然將教學(xué)重點放在學(xué)生應(yīng)試技能的培養(yǎng)上，忽略了對他們思維能力的培育. 這導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)難以達到深度學(xué)習(xí)的層次. 逐層遞進的變式應(yīng)用，可有效拔高學(xué)生的思維，促使深度學(xué)習(xí)的發(fā)生.

核心概念的界定

1. 數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)思維是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中對知識理解、應(yīng)用以及思考模式的綜合性體現(xiàn). 在數(shù)學(xué)課堂上，常見的數(shù)學(xué)思維包括歸納概括、邏輯推理和空間想象等. 其中，歸納概括是學(xué)生自主分析與解決問題的基礎(chǔ)，學(xué)生在自主思考與分析的環(huán)境中，能夠清晰地認識到知識的生成和發(fā)展規(guī)律，并據(jù)此構(gòu)建解決問題的基本策略;邏輯推理能夠幫助學(xué)生迅速地整理和提煉已知條件與結(jié)論，從而明晰核心知識;而空間想象則是培養(yǎng)學(xué)生建模能力的基石，它代表一種超越傳統(tǒng)教學(xué)限制的思維方式，屬于高級思維的一種形式.

2. 變式教學(xué)

變式教學(xué)指通過對問題非本質(zhì)特征的改變，即改造問題的條件或結(jié)論，將問題以新的形式呈現(xiàn)出來，讓學(xué)生通過探索問題深入理解其本質(zhì)屬性的一種教學(xué)模式. 研究發(fā)現(xiàn)，在課堂上應(yīng)用變式教學(xué)法，不僅能夠引導(dǎo)學(xué)生的思維逐步深入，還能促進他們深刻領(lǐng)悟知識核心，從而有助于構(gòu)建一個完整的知識體系. 想讓變式更有效地服務(wù)于課堂教學(xué)，教師應(yīng)有計劃、有針對性地進行變式設(shè)計，在不改變命題本質(zhì)屬性的基礎(chǔ)上，通過問題形式與內(nèi)容的轉(zhuǎn)換促使學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)并掌握所學(xué)對象的本質(zhì). 此為發(fā)展學(xué)生探究能力與應(yīng)用意識的根本，也是形成創(chuàng)新意識的基礎(chǔ).

3. 深度學(xué)習(xí)

從整體上來看，數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容可分為表層知識與深層知識兩部分，前者指概念、性質(zhì)、公式、公理等基本知識和基本技能，而后者主要指數(shù)學(xué)思想和方法. 深層知識以表層知識為基礎(chǔ)[1]. 深度學(xué)習(xí)是在建構(gòu)主義理論的指導(dǎo)下，學(xué)生能夠批判性地運用數(shù)學(xué)思維，通過學(xué)習(xí)提煉數(shù)學(xué)思想方法、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、形成積極的數(shù)學(xué)觀念、培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)與能力，并獲得優(yōu)質(zhì)學(xué)習(xí)體驗的一種學(xué)習(xí)方式.

例析變式拔高思維，推進深度學(xué)習(xí)過程

原題 如圖1所示，已知拋物線y2=4x上存在一點M，F(xiàn)為該拋物線的焦點，若將Fx作為起始邊，F(xiàn)M作為終邊，作∠MFx=60°，那么FM的值是多少？

1. 解題思路

思路1：過點M作準線l的垂線，令M為垂足，再將點F，M連接起來，可得一個等邊三角形FMM，KF=2，∠FMK=30°，所以

MF=4，F(xiàn)M=4.

上述兩種思路是學(xué)生基于已有認知經(jīng)驗提出來的，教師充分肯定了這種從拋物線定義出發(fā)，通過幾何法求解的思路，并提出：除了幾何法，能否用代數(shù)法求解呢？受到這個問題的啟發(fā)，學(xué)生轉(zhuǎn)變思考和探索的角度，形成了以下思路歷程：先求出直線FM的方程，再探索點M的坐標處于何處.

分析 這是一道經(jīng)典問題，起點較低，每個認知水平層次的學(xué)生都能結(jié)合已有認知經(jīng)驗求解. 隨著解題思路的提出與拓展，學(xué)生的思維逐漸從幾何法延伸至代數(shù)法，充分展示了數(shù)形結(jié)合思想在解決此類問題上的輔助作用. 這樣的設(shè)計不僅為后續(xù)的深入挖掘與探索奠定了堅實的基礎(chǔ)，也為學(xué)生的思維發(fā)展搭建了階梯.

2. 變式應(yīng)用

根據(jù)變式的核心理念——只改變問題的形式，不改變問題的本質(zhì)，教師結(jié)合知識特點與學(xué)生的實際認知水平，由淺入深地設(shè)計變式，以啟發(fā)學(xué)生的思維，引導(dǎo)他們自主進入探索狀態(tài).

變式題1 已知點F為拋物線y2=4x的焦點，過點F作直線l與拋物線y2=4x相交于點M，N，已知FM的值為4，那么△MNO的面積是多少？

相較于原題，此題的難度略有增加. 為了引導(dǎo)學(xué)生思考，師生之間展開了以下對話：

師：存在幾條滿足變式題1的條件的直線？

生1：兩條“關(guān)于x軸對稱”的直線.

師：分析該變式題與原題之間存在怎樣的關(guān)系.

生2：原題中僅有一條直線符合相應(yīng)的條件，而該變式題中則存在兩條符合條件的直線.

生3：這兩個問題的結(jié)論與條件發(fā)生了交換，我推測在解題思路上也應(yīng)當(dāng)有所牽連.

師：很好！接下來請大家自主解題.

（教師選取典型解法進行投影展示，并引導(dǎo)學(xué)生進行交流. ）

這是用代數(shù)法求解的過程. 對于這一解法，全體師生都給予了高度的肯定. 為了拓展學(xué)生的視野，并為培養(yǎng)學(xué)生的想象力打下基礎(chǔ)，教師又展示了用幾何法求解的一個過程.

投影2：如圖2所示，作FA⊥MM，A為垂足，則

AM=KF=2. 又

MM=MF=4，所以MA=2. 由此可確定：在Rt△AMF中，∠FMA=60°. 接下來的解題過程與投影1相同（略）.

分析 在原題的基礎(chǔ)上，變式題1對結(jié)論與條件進行了交換，但難度并未顯著提高. 學(xué)生在獨立思考的過程中，通常能夠順暢地完成解答. 得益于原題的解題框架作為基礎(chǔ)，學(xué)生的思維活動十分積極，他們在成功解題的同時，也進一步洞察了這類問題的根本內(nèi)涵.

師：通過探索這兩個問題，不難發(fā)現(xiàn)FM與∠MFx之間存在高度關(guān)聯(lián)，同時還發(fā)現(xiàn)FM=3FN. 基于以上分析，請大家再思考以下問題：

變式題2 已知F為拋物線y2=4x的焦點，過點F的直線l與拋物線y2=4x相交于點M，N，已知=3，請寫出直線l的方程.

師：滿足變式題2的條件的直線是否存在？

生4：存在，同樣為兩條“關(guān)于x軸對稱”的直線.

師：哪位同學(xué)愿意到講臺上板演解題過程？

生5：如圖3所示，作FA⊥MM，NB⊥MM. 設(shè)NF=t，則MF=3t. 根據(jù)題設(shè)條件得MB=NN=NF=

師：解題思路非常清晰，其他同學(xué)有沒有不一樣的解法呢？

分析 此變式題不僅進一步幫助學(xué)生厘清了MF，NF與直線MN傾斜角之間的聯(lián)系，還促使學(xué)生學(xué)會了從向量的角度來探索坐標問題，意識到將向量條件轉(zhuǎn)換為坐標關(guān)系可高效地解決問題. 學(xué)生在變式的引領(lǐng)下，不僅獲得了一種新的探索問題的方法，還有效提升了數(shù)學(xué)邏輯推理能力.

為了讓學(xué)生的思維在“密臺階”的問題啟發(fā)下實現(xiàn)高階發(fā)展，以促進深度學(xué)習(xí)的發(fā)生，教師又有針對性地設(shè)計了以下兩道變式題：

變式題3 將變式題2中的條件

變式題4 將變式題2中的條件改變?nèi)缦拢哼^點A（1，1）的直線l與拋物線y2=4x相交于點M，N，且AM=3AN，請寫出直線l的方程.

分析 由于變式題3中的條件不再涉及焦點F，因此無需使用幾何法進行解題. 如此設(shè)計可讓學(xué)生感知代數(shù)法在解決此類問題中的作用，同時體會幾何法的應(yīng)用與焦點有密切聯(lián)系. 變式的逐層深入，可有效提高學(xué)生的解題效率，此為發(fā)展學(xué)生歸納概括、邏輯推理與空間想象能力的過程.

3. 推廣延伸

師：本節(jié)課通過探索原題、變式題1、變式題2，可見直線l的傾斜角和FM與NF的比例關(guān)系有直接聯(lián)系，大家能否將結(jié)論推廣開來呢？

分析 引導(dǎo)學(xué)生以問題為出發(fā)點，學(xué)會從多角度分析問題的本質(zhì)，并從中提取“一致性”，實現(xiàn)從特殊到一般思想的滲透[2]. 同時，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培育其歸納與提煉的技能，提升數(shù)學(xué)思維層次，展現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的精髓.

幾點感悟

1. 由淺入深設(shè)計變式可推進思維發(fā)展

由于學(xué)生的思維發(fā)展是一個逐步深化的過程，因此在設(shè)計和應(yīng)用變式題時，必須遵循從簡單到復(fù)雜、逐步深入的指導(dǎo)原則. 變式教學(xué)是一種“萬變不離其宗”的模式. 在設(shè)計變式題時，教師應(yīng)深入了解學(xué)生的實際認知水平，并依據(jù)學(xué)情設(shè)計符合學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的變式題. 這樣做旨在進一步鞏固學(xué)生的知識和技能基礎(chǔ)，提升他們的思維能力，讓學(xué)生體驗解決問題的樂趣，并在解題過程中獲得成就感.

2. 時刻滲透數(shù)學(xué)思想方法可拔高思維

數(shù)學(xué)思想方法是一種無形且難以捉摸，卻至關(guān)重要的數(shù)學(xué)能力. 這種能力無法通過言語直接傳授給學(xué)生，而應(yīng)通過引導(dǎo)學(xué)生自主探索，去理解、感知、體驗和積累. 若要將數(shù)學(xué)思想方法深植于學(xué)生的內(nèi)心，教師必須在教學(xué)過程中進行滲透和引導(dǎo). 在本節(jié)課中，教師基于數(shù)形結(jié)合，進一步引導(dǎo)學(xué)生感知數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸以及分類討論等思想方法，為學(xué)生能力的提升打下了堅實的基礎(chǔ).

3. 適度推廣可促進深度學(xué)習(xí)真實發(fā)生

每位學(xué)生都渴望成為探索者、發(fā)現(xiàn)者與研究者. 通過逐步深入的問題探討和適度拓展，能為學(xué)生拓寬思維空間. 例如，本節(jié)課以一個基礎(chǔ)問題為起點，通過變化和應(yīng)用，逐步引導(dǎo)學(xué)生的思維向更高層次發(fā)展. 在課堂尾聲，鼓勵學(xué)生自主地將問題推廣開來，從而將學(xué)生的思維從課堂延伸至課外，實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的教學(xué)理念.

綜上所述，教學(xué)方法隨著時代的發(fā)展而逐步變革. 當(dāng)前，“以學(xué)生為中心”的教育理念應(yīng)貫穿教學(xué)的各個層面. 作為前線的數(shù)學(xué)教育工作者，必須依據(jù)學(xué)生在課堂上的反饋，適時調(diào)整教學(xué)方法，充分利用變式教學(xué)來提升學(xué)生的思維能力，使他們在深度學(xué)習(xí)的過程中培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

參考文獻：

[1] 薛志宏. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)的研究[D]. 河南大學(xué)，2020.

[2] 許文，鄭娣. 整合資源 合理設(shè)計 引領(lǐng)思維：對“直線與拋物線”一課的分析與感悟[J]. 高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2020（18）：3-5.