問題啟發思考,靈活應用模型

[摘" 要] 阿基米德三角形模型在圓錐曲線問題中十分常見，其性質和結論可作為解題的關鍵條件. 教師可運用“問題啟發→模型總結→應用強化”的教學步驟，引導學生深入探究此模型，從而認識、理解、掌握并應用該模型的性質和結論.

[關鍵詞] 阿基米德三角形;弦長;焦點;結論

在高中數學的圓錐曲線領域，常常蘊含著一些特殊模型，它們的構造形式和幾何特性遵循著一定的規律，并與特殊結論相對應. 僅僅依賴于教科書中的知識是不足以掌握這些內容的，因此，在備考復習階段，需要教師引導學生總結并歸納這些固定模型和結論. 教師可以利用專題探究的教學方法來實施這一教學目標. 下面以阿基米德三角形模型為例進行教學實踐.

問題引發思考

問題是激發思考最好的媒介，能夠讓學生直觀感知模型及結論的重要性. 通過設定常規問題，鼓勵學生先獨立思考并嘗試解答，隨后教師再適時介入進行指導.

1. 問題呈現

問題 設拋物線C：y2=6x的焦點

教學設置：呈現上述問題，讓學生使用常規方法自行解決. 先根據題設條件繪制圖1，再采用方程聯立的方法構建解題思路.

啟發引導：上述內容描述了學生使用傳統方法解決問題的步驟，具體是通過聯立方程來確定弦的端點坐標，然后應用弦長公式進行計算. 這種方法顯然較為煩瑣，對于普通的填空題來說，并不是最高效的選擇. 在這種情況下，教師可以展示一種更簡便的策略，即利用圓錐曲線的二級結論來快速解決此類問題：

上述求解弦長的方法顯然更為簡捷，其中最為關鍵的條件為“∠PFB=90°”，但該條件并未直接呈現，而是源于阿基米德三角形的推論. 教師可以先給出該定論，然后引導學生深入探究.

模型總結探究

阿基米德三角形是高中數學中較為重要的模型，在拋物線綜合問題中十分常見. 模型中蘊含了若干關鍵結論，若能靈活運用，則可以顯著提升解題效率. 通過展示模型，引導學生關注其特征，并提煉出結論.

1. 模型認識

教學預設：圖2為拋物線中的阿基米德三角形模型，即拋物線與直線相交所構建的復合模型. 該模型較特殊，構建條件不固定，可以從點的視角來審視.

對于點A和B：

①拋物線的焦點弦與拋物線的交點;

②由準線上一點向拋物線引兩條切線所對應的切點.

對于點M：

③過焦點弦的一個端點的切線與準線的交點;

④過焦點弦的兩個端點的兩條切線的交點.

滿足上述條件①③或①④或②③或②④中的任意三個點所構成的三角形，即“底邊過焦點的阿基米德三角形”.

在教學過程中，引導學生理解條件的構建至關重要. 顯然，這是對點A，B，以及點M的獨立設定，即特定直線的交點. 在具體解題時，必須深入解讀題目中的條件，分析是否符合“底邊過焦點的阿基米德三角形”的情況.

2. 模型結論

“底邊過焦點的阿基米德三角形”模型具有四個關鍵結論，學生在實際解題過程中可以靈活地應用這些結論.

結論1：MF⊥AB;

結論2：MA⊥MB;

結論3：MN∥x軸;

結論4：S的最小值為p2.

結論解讀：結論1和結論2涉及垂直關系，可以利用它們直接推導出△MAB是一個直角三角形（其中，MF是邊AB上的垂線）;結論3中的點N為弦AB的中點，基于平行線的性質可以推導出關于角的結論;結論4是對動態△MAB面積的解讀，能夠直接推導出三角形面積的最值.

模型應用強化

在深入研究模型及其結論之后，教師引導學生靈活運用這些知識來解決問題，同時注意兩個關鍵點：首先是恰當地設定問題，確保問題的難易程度適中，并全面覆蓋相關知識點;其次是指導學生解析問題的過程——先確定適用的模型，然后根據題目要求來應用相應的結論.

1. 初步應用

教學預設：根據題設條件繪制圖象（如圖3所示）.

由題設條件可知AB為過拋物線的焦點弦，而點P為過焦點弦AB的端點的切線與準線的交點. 根據分析可知，對應上述模型中的①和③兩個條件，故△ABP是“底邊過焦點的阿基米德三角形”，因此可直接利用模型結論解題.

解后反思：上述內容展示了如何運用模型的垂直特性來直接識別特殊的三角形，并通過勾股定理來確定線段條件，從而高效地求解最大值或最小值問題. 教師的主要職責在于引導學生掌握解題思路，這可以通過三個步驟來實現：首先，解讀題目條件并繪制相應的圖形;其次，分析條件以確定適用的數學模型;最后，運用相關結論來簡化解題過程.

2. 強化探究

例2 已知點F為拋物線C：y2=8x的焦點，過點F的直線l與拋物線C相交于點A和B，點P在拋物線準線上，且為過點A所作的切線與準線的交點，坐標為（-2，2），則直線l的斜率k為_____.

教學預設：指導學生根據題設條件判斷是否構成“底邊過焦點的阿基米德三角形”. 由題意可知，l為過拋物線焦點的直線，點P為過焦點弦AB的端點的切線與準線的交點，顯然滿足模型條件，因此可以直接利用模型結論解題.

解后反思：上述內容展示了阿基米德三角形模型結論的綜合應用，其整體思路為“確定模型→引用PA⊥PB→推出·=0→聯合構建求解”，即借用模型結論將幾何條件轉化為代數條件. 在教學探究中，教師要引導學生關注模型結論的轉化思路，尤其是溝通幾何與平面之間的聯系.

教學啟發思考

模型探究在高中數學教學中占據著核心地位，它不僅有助于學生整合所學知識，還能幫助他們提煉出常用的數學模型，并據此推導出關鍵結論. 遵循上述模型探究的思路，有助于學生從“認識模型”過渡到“模型應用”. 為此，筆者提出以下幾點建議.

1. 從問題中提取，回歸到問題中

數學模型是對特定性質、特征和結論的綜合表達，教材通常不會深入講解，這就需要教師借助典型問題引導學生進行探索. 在教學中，教師可以運用“從問題中提取，再回歸到問題中”的策略，首先通過實例來提煉模型，探索并總結出結論，隨后利用實例進行針對性的強化訓練. 在這一過程中，學生應獨立思考，運用傳統方法解決難題，并在此基礎上進行模型的總結和歸納，以明確結論的合理性.

2. 模型系統探索，思維串聯發展

模型探究教學需要注意其系統性，即完成“特征分析→性質歸納→總結證明→應用拓展”的探究閉環，確保學生能夠深入理解模型，牢固掌握相關結論，并能靈活地將其應用于各種情境中. 整個過程關注學生的思維變化，合理設問，適時引導，推動學生的思維發展. 探究教學以學生為主體，融合多種教學方式，可借助多媒體，直觀呈現模型，動態展示模型變化. 在引導問題時，需留意兩個關鍵點：首先，問題應緊扣主題并具有啟發性;其次，避免提出過多問題，確保為學生提供足夠的思考空間.

寫在最后

在備考高中數學時，重視總結和歸納是至關重要的，而模型探究正是實現這一目標的有效途徑. 教師應當以教材中的核心知識點為基礎，指導學生進行知識的整合與歸納，從而提煉出關鍵的結論. 在探究過程中，教師需要構建連貫的思維鏈條，培養學生的模型思維能力，進而增強他們的綜合解決問題的能力. 在應用環節，教師可以結合常規方法與結論導向的方法，從多個角度進行分析，使學生能夠掌握并運用多種解題策略.