以形思數，以數想形

陳曉潔

摘 要： “數”與“形”是貫穿小學數學教學始終的基本內容，也是小學階段重要的數學基本思想。“形對數進行直觀表現，數對形進行量化”，借助數形結合的研究方法，可以讓數量關系與圖形性質的問題很好地轉化，通過幾何模型加深學生對數概念的了解，讓學生更深刻地領悟數學運算的算理，使解題思路與過程具體化；通過數量化、公式化幫助學生理解圖形性質，借助表象發展空間觀念，更好地展現知識的建構過程。“授之以魚，不如授之以漁”，思想培養與灌輸、方法掌握與靈活運用，才能使學生受益終身。

關鍵詞： 數學思想方法 數形結合 滲透方法

小學數學教學擔負著培養小學生數學素養的特殊任務，思想方法是數學素養的本質要求。數形結合是小學數學教學中最早運用，對學生最直觀、最容易接受的一種數學思想方法，即把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過抽象思維與形象思維的結合，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而優化解題途徑。在小學教學中有效運用數形結合思想方法，有助于學生理解數學實質，提高數學思維水平，為后續學習打好基礎。同時幫助學生更好地形成抽象思維，便于他們在現實生活中更好地解決問題。

一、以形思數，在直觀中理解“數”

教師通過以形思數突出圖的形象思維，緊密結合圖形的直觀所長變抽象為形象，便于學生理解抽象的概念、數量關系和運算性質，使學生運用已有知識經驗，用數學模型替代實際問題，讓學生的感官發揮作用，在建立表象的情況下進行思維發散，最終找到解決問題的本質所在。

（一）以形思數，幫助建立數學概念。

許多數學概念比較抽象，很難理解，特別需要視覺有效應用，因此可適當采用數形結合思想展開概念的教學，借助圖形為數學問題創設一定的情境，并在圖形解析過程中幫助學生理解數學概念。

比如，教學生掌握100以內的數的時候，學生大多對100以內的數倒背如流，看上去掌握得很好。于是我出示了這樣一道題考學生：66接近70還是60呢？卻發現很多學生都不會。分析原因是有些學生只是機械地背數，關于數的順序、大小等方面的知識其實掌握不佳，因而需要教師創設一定的情境讓學生進一步感知和學習。于是我在黑板上畫了一條數軸，稱它是一條帶箭頭的線，在數軸上逐一標出60～70，將抽象的數在看得見的線上形象、直觀地表示出來，將數與位置建立一一對應關系，這樣有助于學生理解數的順序、大小。標出數字后在60和70處畫了兩幢房子，問：“66這個數喜歡去誰的家呢？”看著圖畫，幾乎所有學生都回答：“喜歡去70的家，因為66距離70比較近。”隨后進一步說明：66再數4就是70，60要數6才66，很顯然是66接近70。從以上設計和學習過程中我們不難發現：“數”的思考、“形”的創設，不但增強學生的學習熱情，而且有助于學生數學思維的形成。

（二）以形思數，幫助理解數學運算的性質。

數形結合不僅是一種思想，還是一種很好的教學方法。計算教學中，許多算理學生模棱兩可，如能做到數形結合，學生可以更透徹地理解和掌握。

比如，教學《積的變化規律》時，教師常采用列舉各種乘法公式的手段，讓學生觀察、對比因數與積之間的變化，找出積的變化規律。教學藝術在于創造，我曾聽一位教師創造性地運用長方形模型具體直觀啟發學生尋找出積的變化規律。教學過程如下：

首先，呈現如下圖形，

引導學生思考，在長度固定，寬度增加或減少3倍的情況下，面積是怎么變化的？

通過計算長方形面積，比較變化前后的面積，學生一眼就能看出固定長度的情況下，當寬擴大3倍或縮小3倍，它的面積擴大3倍或縮小3倍。通過長方形面積的計算及面積大小變化規律的觀察，也就是數形結合，讓學生對積的變化規律有更直觀的理解。這樣設計比抽象的乘法算式之間的比較更易于學生發現、理解規律。

（三）以形思數，使解題過程具體化。

解決問題，為了讓學生清晰地發現題目中的數量關系，適時采用畫線段圖等方法，把抽象的問題放在直觀的情境中，在直觀圖示的導引和教師的啟發下，學生就能比較容易地理解各種數量間的關系，從而有效提高學生比較、分析和綜合的思維能力。

比如，一年級上冊經常有這樣的題目：小明前面有5人，小明后面有3人，一共有幾人？列成算式是：5+3+1。另外還有：從前面往后數，第5個是小明，從后往前數，第6個是小明，一共有幾人？列成算式是：5+6-1。這兩道題目使學生的思維受到嚴重干擾，什么時候加1，什么時候減1？要求一年級孩子用語言表達往往是很難做到的。教學中，若進行數形的巧妙結合，以圖形方式展開，抓住問題的本質，問題就變得簡單。尤其是第二個問題，通過圖示，學生明白為何要減1，因為小明算了2次。一個圖形達到上百句話的表達效果，讓學生養成畫圖思考的學習習慣，切身體會數形結合的優勢，從而幫助他們提高數形轉化能力，實現抽象思維與形象思維的巧妙運用。

二、以數想形，在轉換中建立“形”

圖形推理屬于抽象化計算，而計算又是推理的具體化，圖形是推理和計算的直觀模型。數學活動里有關圖形的知識可以通過數和計算幫助理解。

（一）以數想形，有助于公式的理解。

教學有關數學公式時，倘若只是讓學生死記硬背，很難讓他們真正理解公式，一旦遇到比較復雜的圖形問題，便無法靈活地運用公式解答。計算長方形周長的方式通常有三種：①長+寬+長+寬，②長×2+寬×2，③（長+寬）×2，通過練習反饋，發現大部分學生都使用了前兩種方法來計算，很少使用第三種方法。此外，還有學生未充分理解第三種計算公式的含義，僅了解到有這樣一個公式可以求長方形的周長，知其然，而不知其所以然。于是我設計了讓學生邊說邊擺小棒的方法介紹第三種求周長的方法。

經過討論、分析可以發現長方形的面積計算公式是（長+寬）×2，由計算轉向幾何推理。在教學過程中把圖形問題變換成代數問題，突出圖像的形象思維，有助于學生得到正確的結果，這是幫助學生靈活應用圖形運算公式的有效方法，讓他們思維與觀察能力等都獲得提高，增強對數與形的正確認識。

（二）以數想形，探究其本質。

通過以數想形，還可以有效幫助學生理解圖形的性質，例如，在“平行四邊形等高等底，面積相同”的教學過程中，教師可以呈現一個算式，讓學生畫出可能是怎樣的平行四邊形，如4×2，學生可以畫出如下圖形：

將等底等高但形狀不同的一組圖形放在一起供學生觀察，讓學生深入體會，從而掌握得更加牢固。

（三）以數想形，借助表象發展空間觀念。

兒童的認識規律，通常來說先是直接感受，再到表象，最后形成科學概念。表象介于感知與科學概念的形成之間，屬于中間過渡環節，巧妙地利用這一環節，學生思維會更活躍，想象力更加豐富，因此對知識的理解更深入、透徹，有利于空間觀念的形成。培養初步的邏輯思維能力，具有十分重要的意義。

教師可以引導學生利用表象、用聯系的觀點把握數形結合思想，如看到“3”想到了什么？學生可能會想到三角形；看到“3、3、1”，“3、3、2”，“3、3、3”，“3、3、4”，“3、3、5”，想到的是怎樣的三角形，通過想象學生可以想到是這樣一列三角形。

數據規律變化導致圖形規律變化，這樣訓練有助于培養學生的空間想象能力。

當然，“數”上構“形”，以形思數；“形”中覓“數”，以數想形，這兩點不是彼此獨立的，而是互相聯系的。數形結合在小學教育中更加關鍵，合理運用它，能夠讓學生獲取更加形象化的材料，可以變抽象為具體，使解題思路無形變有形。這樣一來，學生對知識的學習、接受更加輕松、高效，同時激發學生的學習興趣，利于腦力的開動、能力的提高，使教學收到事半功倍之效。

參考文獻：

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