“二項式定理”（第1課時）教學設計

于磊

摘要：二項式定理是中學數學的重要組成部分。此節(jié)課教學設計以學生體驗參與教學為主題，利用多媒體教學輔助手段，注重提高學生的數學學科核心素養(yǎng)和學生的數學思維發(fā)展。

關鍵詞：二項式定理;排列組合;二項式系數;核心素養(yǎng);思維發(fā)展

一、教材分析

此節(jié)課是人教A版《普通高中數學課程標準實驗教科書·數學（選修2-3）》第一章第3節(jié)的內容。二項式定理是多項式乘法的特例，是初中所學多項式乘法的延伸。此節(jié)內容安排在排列組合之后，既是對組合數的應用，又是為學習二項分布做準備。二項式定理是從特殊到一般進行的歸納與概括，這部分內容對于培養(yǎng)學生的數學抽象與數學建模素養(yǎng)有著不可忽視的價值。

二、教學目標

（1）知識與技能：用多項式乘法和計數原理推導二項式定理，培養(yǎng)學生的合作探究能力。

（2）過程與方法：通過情境創(chuàng)設讓學生體驗定理的形成過程，感受知識的發(fā)生是自然的，體驗多項式乘法和計數原理之間的聯系;通過總結特征，讓學生感悟從特殊到一般的研究問題的方法。

（3）情感、態(tài)度與價值觀：學生在合作探究中體驗成功的喜悅，在展示總結中提高數學抽象的素養(yǎng)，提升學生的語言表達能力。

（4）數學核心素養(yǎng)：提高學生的數學抽象素養(yǎng)和數學建模素養(yǎng)。

三、教學重點與難點

教學重點：二項式定理及其應用，解決與展開式有關的問題。

教學難點：二項式定理的獲得過程。

四、教學策略分析

此節(jié)課的理論支撐是多項式運算法則和計數原理。因此，筆者首先要創(chuàng)設計數原理的教學情境，引導學生通過觀察、歸納得到二次、三次、四次的展開式，然后采取問題追問的方式來組織課堂教學，給學生留有充分的思考、歸納、總結的空間。重視二項式定理的發(fā)現與獲得的過程，讓學生親身體驗公式的獲得過程，體驗從特殊到一般的數學抽象思想，通過白主探究達到突出教學重點、突破教學難點的目的。

五、教學方法與手段

利用類比、探索相結合的教學方法;以學生為主體、以問題為主線，啟發(fā)、引導學生的數學思維，幫助學生建立數學模型，學生合作探究完成抽象的過程;利用多媒體技術，為學生提供直觀的圖象，激發(fā)學生的學習興趣，提高課堂教學效率。

六、教學過程與設計

1.問題引入

師：請回答（a+b）2的展開式。

生：（a+b）2=a2+2ab+b2。 筆者創(chuàng)設數學實驗的問題情境：如下圖，兩個容器中有a（白），b（黑）球各一個，每次從兩個容器中各取一個球放到一起，取得小球的結果有哪些類？每類結果有幾種情況？能用計數原理的知識回答嗎？

師：取得小球的結果有哪些類？

生1：aa，ab，bb三類情況。

師：每類情況有哪幾種可能？

生1：aa有1種可能，ab有2種可能，66有1種可能。

師：觀察問題（a+b）2的展開式與數學實驗有何關聯？

生2：（1）把小球看成字母;（2）取小球的過程相當于用多項式乘法把公式展開的展開式;（3）每類情況有幾種可能的結果就是展開式的系數。

生3：以取得b球的個數作為分類標準（同時用組合數回答結果有幾種），取0個黑球，2個白球的結果有C

種可能;取1個黑球，1個白球的結果有C

種可能;取2個黑球，0個白球的結果有C

種可能。

師：怎樣用完全平方公式的形式回答？系數又怎樣用組合數表達？

師：類比上面的方法，回答問題（a+b）3=_____？（a+b）4=______？你能發(fā)現哪些規(guī)律？

生4：項數是n+1項。

生5：系數是CO，C1，C2。

生6：a的次數變化規(guī)律從n次到0次冪，6的次數變化規(guī)律從0次到n次冪，ab的次數和等于，。。

生7：公式的應用條件是兩項和的n次方。

2.新課內容

筆者引導，學生獨立發(fā)現二項式定理，由學生自己完成二項式定理的展開式。

筆者介紹通項公式

和二項式系數等相關概念。

3.鞏固訓練

練習1：寫出 （p+q）7的展開式。

師：若中間換成“一”會有什么結果？為什么？對比符號對展開式的影響。

師：（2a-b）6展開式的第六項是什么？

生9：T6= Ts+.=C5（2a）“5（-b）5= -12ab5.

練習2：已知（1+2x）5，求：（1）展開式的第三項;（2）第四項的二項式系數及第四項系數。以小組的形式相互討論，得出答案，并展示講解。

4.還原生活

師：今天是星期二，那么7天后的這一天是星期幾呢？

生：也是星期二。

師：那么15天后的這一天呢？

生：是星期三。

是否發(fā)現了什么規(guī)律？學生探究總結。

5.歸納小結

此節(jié)課都有哪些收獲？學生回答，筆者點撥。

（1）解決問題要回歸數學本質;

（2）深入理解變量思想;

（3）用類比的思想方法解決新知識、新問題;

（4）提高數學抽象的素養(yǎng)。

6.課后作業(yè)

（1）必做題：教材第36頁第1，2，3題;

（2）選做題：教材第36頁第4，5題。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2018.

[2]張文娣.二項式定理及其應用[J].甘肅聯合大學學報（自然科學版），2004（4）.