根號

是將不等式每一項根號下未知數(shù)的冪從“1”變?yōu)椤?”得到.評注：此變式是將不等式每一項根號下的未知數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項改變得到.評注：此變式是通過改變不等式每一項的冪得到.評注：此變式是通過改變不等式每一項根號下的代數(shù)式的結構得到,將每一項根號下未知數(shù)的個數(shù)從“1”元變?yōu)椤?”元.評注：此變式是通過改變不等式每一項根號下的未知數(shù)的冪和系數(shù)得到.3.2 四元形式的變式上述變式7到變式12均是在變式1到變式6的基礎上改變的,將未知數(shù)的個數(shù)從“3”元變到“4”元,變式

[42]中，有帶根號的數(shù)，還有無根號的數(shù)，而帶根號的數(shù)又都是無理數(shù)，如此雜亂無章讓我們難有頭緒. 此時，不妨利用a = [a2]（a ≥ 0），給無根號的正整數(shù)“配”上根號，將系數(shù)不為1的二次根式化成系數(shù)為1的二次根式，所有數(shù)都化為二次根式的形式，且系數(shù)為1.解：由a = [a2]（a ≥ 0），得2 = [4]，[22] = [22×2] = [8]，[23] = [22×3] = [12]，4 = [16]，[27] = [22×7] = [28].

生1 的思路是先根號內通分，然后代入x、y的值，但在計算過程中處理分數(shù)的運算出錯（最后兩步出錯）；學生2 的主要思路是根號內通分，配成完全平方式后化為最簡二次根式，但第二步就出錯，因為將根號內（x-y）2開方時沒有加絕對值，即| |x-y，而是跳步驟直接寫成了x-y，從而出現(xiàn)“高位錯誤”，究其原因是忽略了x、y的值已被確定，x-y是一個負數(shù)。我們可以發(fā)現(xiàn)，學生1若不是計算出錯，應該能獲得正確結果（答案為1）；而學生2是對二次根式性質的理解不夠透徹，忽略了對

．②式與①式均有根號，如何“去根號”？方法1 由均值不等式，得同理，累加后再用均值不等式，得即②式成立．方法2 由柯西不等式，得同理，累加后再用均值不等式，得即②式成立．方法3 兩邊平方去掉一些根號，得到等價的④．注意到ABC=1，所以而于是]≥2×從而④式成立，故②式亦成立．上面用最普通的方法將不等式化為盡可能簡單的④式，然后利用ABC=1及均值不等式導出結果．這是一個訓練學生基本運算能力的好題．計劃簡單，在教師的幫助下，實現(xiàn)也不困難．練習1(自編) 已

根式時，有時需將根號外的式子移入根號內，以使式子的化簡更為順利.如果根號外的式子為非負值，可以將其平方后移入根號內，根號前的符號不發(fā)生改變;如果根號外的式子為負值，那么要先將它變號，再平方后移入根號內.例5分析：解：通過上面的幾個例題我們知道，二次根式的非負性是我們尋找解題思路的突破口.因此，我們要充分挖掘二次根式問題中隱含的非負性的條件，從而準確又迅速地完成解題.

可達98%.1 根號幾何特征分析字符識別通常采用比對算法,即將分割好的單字符與字模比對,取方差最小字模為識別結果.但此方法對根號的識別非常困難,這是因為根號長短不一、高低不同,難以用通常的比對方法進行識別.不同于手寫數(shù)學公式,印刷體數(shù)學公式書寫相對規(guī)范,幾何特質明顯,因此可考慮通過根號的幾何特征來實現(xiàn)精準識別.定義1設X為一個數(shù)學公式二值化圖片,按照從上到下,從左到右的統(tǒng)計原則,第一個黑色像素點坐標(xup,yup)稱為X的上角點,最后一個黑色像素點坐標(

，【解析】例1中根號里面是具體的數(shù)字，而變式含有未知數(shù)。例1和變式均考查a2=|a|，故（x-5）2+（x-3）2=|x-5|+|x-3|，但此題中x沒有給出相應的范圍，所以需要對x進行分類討論。顯然，x=5和x=3是分界點，所以需要分以下三種情況進行討論：1當x2當3≤x≤5時，原式=-（x-5）+x-3=-x+5+x-3=2;3當x>5時，原式=x-5+x-3=2x-8。例2把下列各式中根號外的因式適當改變后移到根號里：（1）23;（2）-32?！窘馕?/div>

初中生世界·八年級 2020年8期2020-09-06

跳步。【點評】當根號外的數(shù)是負數(shù)時，把負號留在根號外，然后將這個數(shù)的平方移到根號內，即ab=-（-a）b=-（-a）2b=-a2b（a0）。二、未充分挖掘隱含條件例4已知xy【錯解】x2y=x2·y=xy?！惧e因分析】由xy0、y0、y0。【錯因分析】對x>2y這一條件的分析不夠，導致化簡時錯誤地認為y>0。由x>2y可知2y-x用錯公式a2=|a|大都在a為負數(shù)的時候，因此判斷a的符號往往是解決問題的關鍵。而具體問題中，判斷a的符號往往與“二次根式有意義

難就難在如何消除根號，下面介紹一類用三角代換解決的根式函數(shù)的問題。解求得-1≤x≤1所以可設x=cosθ(0≤θ≤π)∵0≤θ≤π例2已知a2+b2=1,c2+d2=1,ac+bd=0,求ab+cd的值.解由已知可設：a=cosα,b=sinα;c=cosβ,d=sinβ所以ac+bd=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)=0∴ab+cd=cosαsinα+cosβsinβ=0∴函數(shù)的值域為[1,2]解要證原不等式成立，≤2所以原不等式成立

道不等式，左邊有根號而右邊沒有，因此將左邊根號去掉是解題的關鍵.下面介紹兩個漂亮證法與讀者分享.對任意實數(shù)x,y，我們有x2+y2≥2xy，則2(x2+y2)≥(x+y)2，于是所以(ab+bc+ca-1)+(a+b+c-1)≥a+b+c+1，評注本解法根據(jù)四川熊昌進老師在《愛數(shù)集合》群里交流的解法整理而成.本解法首先根據(jù)題目結構特征構造復數(shù)，然后通過復數(shù)運算和模的性質，將所證不等式左邊根號內的式子恒等變形為平方和的形式，接著用重要不等式的變式(即均值不等

把[a-1a]中根號外的因式移到根號內后，得（ ）.A.[-a] B.[-a]C.[a] D.[--a]【錯解】[a-1a]=[a2-1a]=[-a]，故答案選A.【分析】錯解忽視了二次根式中[-1a]≥0的條件.由二次根式的定義[-1a]≥0，知a<0.所以[a-1a]<0.故當a移到根號內時，應在根號前面加負號.【正解】[a-1a]=[-a2-1a]=[--a]，故答案選D.五、忽視字母的正負性【例5】已知：a=[12+3]，求[a2-2a+1a2-a

式，可以將含多個根號的數(shù)，逐步去根號，得到最終的答案，但是前提是知道根號下的數(shù)到底是什么數(shù)的平方，這才是關鍵.必需不斷的做題，練習，總結.三、利用合情推理……評析合情推理是波利亞的"啟發(fā)法"中的一個推理模式2.就是從已有的知識和具體的事實經驗出發(fā)，通過觀察、實驗、類比、聯(lián)想、歸納、猜想等手段在某種情境和過程中推出可能性結論的推理．要做此類題時，一定要大膽猜想，通過對前幾項根號的逐步計算，通過合情推理，得出最終的結論.四、利用完全立方公式：a+b3=a3+b

獻[1]討論了帶根號Hilbert邊值問題關于邊界曲線的穩(wěn)定性，本文在此基礎上進一步討論帶根號Riemann邊值逆問題關于邊界曲線解的誤差估計。關鍵詞：帶根號Riemann邊值逆問題；攝動；穩(wěn)定性中圖分類號：O175.8 文獻標識碼：A1 邊界曲線攝動后Riemann邊值逆問題的提出與求解文獻[2]提出了以下一類帶根號Riemann邊值逆問題：設L為復平面中一條封閉光滑曲線，求一對函數(shù)Ψz，wt，其中Ψz是以L為跳躍曲線的全純函數(shù)，wt為L上的H類函數(shù)，滿

數(shù).易錯點2 帶根號的數(shù)未必是無理數(shù)，不帶根號的數(shù)也可能是無理數(shù).【辨析】正確.像[4]和[273]這樣的數(shù)雖然帶根號，但因其結果都為有理數(shù)，即[4]=2，[273]=3，故其為有理數(shù).相反，有些數(shù)雖然不帶根號，因其無限不循環(huán)，則其為無理數(shù)，如0.1010010001…就是無理數(shù).易錯點3 [227]是無理數(shù)，因其不循環(huán).【辨析】不正確.事實上，[227]=3.142857…該數(shù)不是不循環(huán)，只不過其循環(huán)節(jié)較大，事實上所有的分數(shù)都為有理數(shù)，都可化為循環(huán)小數(shù)的

y+g中的后一個根號內的第一項是前一個根號內的末項，從第二項起至倒數(shù)第二項止，根號內的第二項是該根號內兩個變量積的倍數(shù).把形如這樣的函數(shù)稱之為接龍函數(shù).求這類接龍函數(shù)的極值問題，無論是采用常規(guī)的初等數(shù)學方法，還是采用高等數(shù)學的微分法都很難奏效，本文將借助余弦定理，采用數(shù)形結合的構造性方法，給出接龍函數(shù)F（x，y）=c+bx+ax2+ax2+dxy+ey2+ey2+fy+g在給定條件下的最值定理，并加以推廣.定理1 若a，c，e，g∈R+，且Δ1=4ca-b

中，關鍵是要減少根號的個數(shù)，從而促使問題的迅速轉化.與命題1的上述新證法相比，盡管文[1]的證明思路也是如此，但它有兩點不當之處：一是假設“n+n+1+n+2=ab”；二是把“n+n+1+n+2=ab”化為“n+1=ab-（n+n+2）”，然后通過平方去掉左邊的根號.前者雖然是用反證法證明一個數(shù)為無理數(shù)時常用的假設形式，但根據(jù)命題1所含根號較多的特點，證明的關鍵在于要減少根號的個數(shù)，而不是要考察整數(shù)a與b之間的關系，反倒是“ab”使問題的形式更加復雜化了；

.五、將二次根式根號外的因式移到根號內例5 把x[-1x] 根號外的因式移入根號內，化簡的結果是（ ）.A.[x] B.[-x]C.[-x] D.[--x]【錯解】A或B.【分析】本題首先根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)大于或等于0，得到[-1x≥0]，∴x<0.化簡的時候有兩種方法：一是將[-1x]化簡為最簡二次根式，再與根號外的x相乘；二是把根號外的x移到根號內.【解答】由題意知：x<0，方法一：[x-1x=x1·-x-x·-x=x-x-x2]=[x

數(shù).易錯點2 帶根號的數(shù)未必是無理數(shù)，不帶根號的數(shù)也可能是無理數(shù).【辨析】正確.像 4和327這樣的數(shù)雖然帶根號，但因其結果都為有理數(shù)，即 4=2，=3，故其為有理數(shù).相反，有些數(shù)雖然不帶根號，因其無限不循環(huán)，則其為無理數(shù)，如0.1010010001…就是無理數(shù).易錯點4 有理數(shù)和無理數(shù)的個數(shù)不可比較多少.【辨析】正確.因二者都有無限個數(shù)，故不能比較其個數(shù)的多少.易錯點5 無理數(shù)也分正無理數(shù)、0和負無理數(shù).【辨析】不正確.因為0屬于有理數(shù)的范疇，無理數(shù)可分

點評 本例中兩個根號中的x的系數(shù)不是相反數(shù)，為了使所構造的向量b滿足|b|是常數(shù)，需要對各根式的系數(shù)適當搭配，這是求解中的難點，應特別關注.點評 所設的a和b，一方面有y=a·b+c,另一方面應滿足|a|和|b|都是常數(shù)，因此要結合根號中的式子，對根號外式子的系數(shù)進行適當?shù)呐錅?這是求解這種類型函數(shù)最值的關鍵所在.我們再看一例，加以體會.點評 本例是兩個根式和的形式，所構造的兩個向量a與b要滿足兩個條件；(1)a+b是常向量；(2)a與b應同向.這樣才能保

內移”，應先確定根號外因式的符號，若根號外的因式是非負數(shù)，則把因式平方后移到根號內；若根號外的因式是負數(shù)，則把負號留在根號外，再把根號外的因式平方后移到根號內進行化簡.【點評】根號外的因式的范圍應根據(jù)被開方數(shù)中字母所隱含的取值范圍確定.“內移”的過程實質是逆用公式，由開方運算變?yōu)槠椒竭\算.數(shù)學是思維的體操，概念又是思維的細胞，只重結果而不重數(shù)學概念形成的來龍去脈，很容易舍本逐末，形成認識的誤區(qū).因此，我們在平時的學習過程中，要經歷數(shù)學概念的形成過程，這樣才

母；③分母中不含根號.（a≥0）中有能開方的因數(shù)；（c≥0）中有分母；（a≥0）中有因式（x>1）的分母中含有“”.故選A.∴3a=a+2，解得a=1.∴3a=9a+18，解得a=-3.【辨析】顯然當a=-3時，3a=-9【正解】由題知3-x≥0，∴x≤3，∴x-5≤0.【錯解】原式=（x-5）-（3-x）=x-5-3+x=2x-8.三、忽略題中的隱含條件【正解】C.【錯解】B.【正解】C.【錯解】D.【辨析】在進行二次根式“內移”運算時，應先確定根號外因

號內的運算一樣，根號內的運算要首先進行.注意：≠±正解：（1）原式===13；（2）原式===8.五、忽視題設的隱含條件例5 若m=，試求-的值.錯解：-=-=-=m-1-=2--1-（2+）=-1-2錯因剖析：錯解是由于忽視了題設中 m==2-<1，即m-1<0這一隱含條件.正解：-=-=-=m-1+=2--1+2+=3.六、根號外的數(shù)（式）與根號內的數(shù)（式）約分例6 計算：.錯解：原式=+=+=2+3=5.錯因剖析：錯在把根號外的“3”與根號內的“12

根式時，有時需將根號外的式子移人根號內，以使式子的化簡更為順利.如果根號外的式子為非負值，可以將其平方后移人根號內，根號前的符號不發(fā)生改變；如果根號外的式子為負值，那么要先將它變號，再平方后移人根號內，

數(shù)平方后能將原有根號去掉，所以可將兩數(shù)分別平方，通過比較平方結果的大小來確定兩數(shù)絕對值的大小，進而得到原來兩數(shù)的大小.三、 移動因式法移動因式法就是將根號外面的因數(shù)移到根號的內部，或將根號內的因數(shù)移到根號外，再比較被開方數(shù)的大小.【分析】根據(jù)算術平方根的意義，將根號外的數(shù)移到根號內，再比較兩個被開方數(shù)的大小.【說明】也可用平方法比較這兩個數(shù)的大小.四、 求差法求差法就是求出兩個數(shù)的差，然后將所求的差與0進行大小比較，當差小于0時，被減數(shù)小，反之被減數(shù)大.可

探討了開口弧上帶根號Riemann邊值問題.通過對未知函數(shù)Ψ（z）結構的分析，把帶根號的Riemann邊值問題化為一般的Riemann邊值問題，進一步又可將其化為經典的Riemann邊值問題，從而得到問題的解。關鍵詞：Riemann邊值問題；根號；開口弧線段一、相關問題，記法本文討論L為一開口弧段帶根號Riemann邊值問題，即設L為復平面中一開口光滑弧段ab（a≠b），取定a至b為其正向，要求再復平面被L剖開后的區(qū)域S中的全純函數(shù)ψ（z），滿足邊值條件：

一些方法將根式的根號化去，使之轉化為一些三角函數(shù)的線性組合的形式，使得函數(shù)在形式上變得更簡單，從而快速、準確地進行二次根式的運算和求值.根式去根號問題形式豐富，千變萬化.高中數(shù)學常見的去根號的方法有三種：（1）（Δ）2=Δ，將整個根式平方；（2）配方法.Δ2=|Δ|，通過配方將被開方式化為完全平方式，從而化簡根式；（3）換元法.令Δ=t，則Δ=t2，將整個根式用另外一個新變量替換，從而將原根式用新變量表示.

梁立靖根號三，是一個無法開方的數(shù)，只因帶了根號，在數(shù)字中顯得那么不自然。它的本質還是數(shù)，卻因為無法開方而永遠躲在根號下，陷入無盡的循環(huán)和黑暗中。這樣的它們，被人們稱為“異數(shù)”。每個學校，每個班級，或多或少都會有那么幾個與環(huán)境氣氛格格不入的孤獨影子，他們用沉默與自閉包裹自己，像刺猬一樣豎起刺兒，遮住那些像針似的密密扎來的異樣眼光，他們用了一種最安全的方法保護自己，卻也刺傷了想靠近他們的友好的人。這樣的他們，被人們稱為“異類”。異數(shù)是數(shù)，異類到底他是人類，為什

是無限小數(shù)C.帶根號的數(shù)都是無理數(shù)D.無理數(shù)包括正無理數(shù)、0和負無理數(shù)4.下列各組數(shù)的大小關系表示正確的是（ ）。 3.下列說法中正確的是（ ）。A.無限小數(shù)都是無理數(shù)B.無理數(shù)都是無限小數(shù)C.帶根號的數(shù)都是無理數(shù)D.無理數(shù)包括正無理數(shù)、0和負無理數(shù)4.下列各組數(shù)的大小關系表示正確的是（ ）。 3.下列說法中正確的是（ ）。A.無限小數(shù)都是無理數(shù)B.

說明如何 “巧去根號”求解不定積分。[關鍵字]不定積分 去根號 三角代換 變量代換在求解被積函數(shù)表達式中含有根號的不定積分時，通常想辦法去根號。一般去根號的方法有湊微分法、三角代換法、到代換法、取最小公倍數(shù)法，例如被積函數(shù)中同時出現(xiàn) ，通常取 ，如果被積函數(shù)中只出現(xiàn)一個根號，例如 便可去掉根號。但是，對于求解不定積分時經常碰到的一類例題，除了可以用上述方法“去根號”求解外，還有一種特殊的簡便的“去根號”方法卻不容易令人想到，例如下面的例題：例 求解不定積分

數(shù)兩類．５． 帶根號的數(shù)都是無理數(shù)嗎？答： 其實就是有理數(shù)２， 也是有理數(shù)２，可見帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)．當然，帶根號的數(shù)有許許多多都是無理數(shù)，例如 、 、 、 等．它們都有一個共同的特點，那就是開方開不盡．６． 無理數(shù)都是用根號形式來表示的數(shù)嗎？答：圓周率π是無理數(shù)，但它并不是用根號形式表示的；又比如０．１０１ ００１ ０００ １…（小數(shù)點后每兩個１之間依次增加一個０）也是無理數(shù)，但它也是不帶根號的無理數(shù)．７． 無理數(shù)與有理數(shù)的乘積是無理數(shù)嗎？答：任何

4 把式子a 中根號外的因式適當改變后移到根號內，并使原式的值不變.錯解：原式＝= .評析： 利用公式a= （a≥0）時，前提是a≥0.根號外的負因式（數(shù)）不能移進根號內，如-2≠ .因此，在將根號外的因式（數(shù)）移進根號內前，一定要先判斷所移因式（數(shù)）是否非負.正解：由題意可知- ≥0，得a<0，所以-a>0.∴原式＝-（-a） =-=- =- .例5 化簡： .錯解：原式＝ + = + = =2 .評析： 在a≥0，b≥0時，有 = ? ，但一般情況下