一道2022年江西預賽試題的多解探究與變式

成 敏 徐鳳旺 尹正波

貴州師范大學數學科學學院 (550025)

1 試題呈現

分析：這是2022年全國高中數學聯賽江西賽區的一道根式函數求最大值的試題.文[1]通過三種方法求得該函數的最大值,并對其試題進行了相應的變式,讀后深受啟發,于是對該題做進一步的探究,得到了不同于文[1]中的三種解法和試題的幾個變式,與大家一起分享.

2 試題解析

評注：此解法通過換元法,構造二次函數,將問題轉化為二次函數的Δ≤0,即可求得該函數的最大值.

解法3：(構造隨機變量X的分布列)由題意可得,可構造隨機變量X的分布列為:

Xxy+5yz+5zx+5P131313

評注：此解法通過構造隨機變量X的分布列,結合(EX)2≤EX2,求得函數的最大值.

3 試題變式

3.1 三元形式的變式

評注：此變式是將不等式每一項根號下未知數的冪從“1”變為“2”得到.

評注：此變式是將不等式每一項根號下的未知數的系數和常數項改變得到.

評注：此變式是通過改變不等式每一項的冪得到.

評注：此變式是通過改變不等式每一項根號下的代數式的結構得到,將每一項根號下未知數的個數從“1”元變為“2”元.

評注：此變式是通過改變不等式每一項根號下的未知數的冪和系數得到.

3.2 四元形式的變式

上述變式7到變式12均是在變式1到變式6的基礎上改變的,將未知數的個數從“3”元變到“4”元,變式7到變式12的證明方法分別對應變式1到變式6的證明方法,證明方法一致,此處不再敘述.