多視角剖析一道離心率質檢題*

張桂騰

福建省莆田第十中學 (351146)

離心率是解析幾何中的重要知識,近年高考及質檢試題頻頻出現求解離心率的值或取值范圍問題.這類問題常考常新,學生解決該問題有一定難度.一般求解策略為利用圓錐曲線的定義或幾何特征尋找基本量間的關系,進而解決離心率問題.[1]本文從多個角度對2023年3月莆田市質檢一道離心率問題剖析,探析求解離心率問題的一般策略.

一、試題呈現

二、解法探究

圖1

圖2

評注：此解法根據直觀想象得到過點A,B′,F的圓關于直線AF的對稱圓的圓心恰為橢圓的左焦點,這是突破本題難點的關鍵.

圖3

三、變式訓練

評注：一般地,與焦點三角形有關的計算常利用正弦定理、余弦定理、||PF1|-|PF2||=2a,得到a,c的關系．

解：如圖4,設橢圓的左焦點為N,連接AF,AN,BF,BN,所以四邊形AFBN為長方形,根據橢圓的定義|AF|+|AN|=2a,且∠ABF=α,則∠ANF=α,

圖4

圖5

四、教學啟示

求離心率的值(取值范圍)需要構造一個含有F1,F2或數字的等式(不等式),往往綜合性較強,是教學的一個難點.由以上例子中,教師可引導學生歸納以下方法:

1.從定義出發,特別注意第一定義中的焦點三角形問題,以橢圓為例,在焦點三角形中三條邊中蘊含了F2的關系,因此如果能找出三條邊的關系也就可以求出離心率的值;

2.分析已知條件中的幾何特征,如題目中給出的等腰,中垂線,垂直等條件都可能是破解題目的入手點,由幾何特征得基本量關系往往會簡化運算;

3.求取值范圍需建立一個含有|PF1|=ex0+a,|PF2|=ex0-a的不等關系,可有以下入手方向:從圓錐曲線本身所具有的不等關系入手;從直線和圓錐曲線的位置關系或點和圓錐曲線的位置關系入手;通過分析題目中的幾何條件得出不等關系,例如出現的鈍角銳角或者出現的三角形的形狀,中垂線等.