解析2020年波蘭數學奧林匹克不等式試題

杜貴君 龐耀輝

(甘肅省蘭州市第七十一中學 730080)

題目

已知

a

,

b

,

c

>0，求證：①．證法1(代換法) 設則

x

,

y

,

z

>1．由即3=[(

x

-1)(

y

-1)(

z

-·開方變形得(

x

+

y

+

z

)≥27+9=36，則

x

+

y

+

z

≥6，即①式成立．證法2(等價轉換法) 首先注意當

a

=

b

=

c

=1時，等號成立．其次，每個分式的“階”都是“零次”，即分母是1次，分子的被開方式是2次，開平方后算成1次，所以分式是0次．這種分式可令將①式化為②．其中

A

,

B

,

C

為正數，并且

ABC

=1 ③．②式是在條件③式成立時的不等式，在

A

=

B

=

C

=1時等號成立．②式比①式簡單一些，但并非實質性的變更，困難依然．②式與①式均有根號，如何“去根號”？

方法1 由均值不等式，得同理，累加后再用均值不等式，得即②式成立．

方法2 由柯西不等式，得

同理，累加后再用均值不等式，得

即②式成立．

方法3 兩邊平方去掉一些根號，得到等價的④．

注意到

ABC

=1，所以

而于是

]≥2×從而④式成立，故②式亦成立．

上面用最普通的方法將不等式化為盡可能簡單的④式，然后利用

ABC

=1及均值不等式導出結果．這是一個訓練學生基本運算能力的好題．計劃簡單，在教師的幫助下，實現也不困難．練習1(自編) 已知

a

,

b

,

c

>0，求證：

提示：注意到可得同理得其余兩式，再用均值不等式.

練習2 對正整數

a

,

b

,

c

，求證：