逆向思維尋規律

劉家良

將公式[a2] = a（a ≥ 0）逆過來得a = [a2]（a ≥ 0），現就公式a = [a2]（a ≥ 0）的應用舉一例.

例 （2022·四川·眉山）將一組數[2]，2，[6]，[22]，…，[42]，按下列方式進行排列：[2]，2，[6]，[22]；[10]，[23]，[14]，4；…若2的位置記為（1，2），[14]的位置記為（2，3），則[27]的位置記為 .

分析：在數[2]，2，[6]，[22]，…，[42]中，有帶根號的數，還有無根號的數，而帶根號的數又都是無理數，如此雜亂無章讓我們難有頭緒. 此時，不妨利用a = [a2]（a ≥ 0），給無根號的正整數“配”上根號，將系數不為1的二次根式化成系數為1的二次根式，所有數都化為二次根式的形式，且系數為1.

解：由a = [a2]（a ≥ 0），得2 = [4]，[22] = [22×2] = [8]，[23] = [22×3] = [12]，4 = [16]，[27] = [22×7] = [28]. 觀察[2]，[4]，[6]，[8]；[10]，[12]，[14]，[16]；…不難發現規律：被開方數都是從2開始的偶數，每組4個數.

因為[27] = [28]，28是第14個偶數，且14 ÷ 4 = 3……2，所以[27]的位置記為（4，2）. 故填（4，2）.

反思：利用a = [a2]（a ≥ 0）把無根號的正整數“配”上根號，將規律的尋找變成被開方數特征的尋找，這是用逆向思維突破了問題的瓶頸. 另外，類比點坐標的表示方法也為尋求規律帶來了啟示. 若條件不變，則[2022]的位置記為 . （答案見第29頁）

（作者單位：天津市靜海區沿莊鎮中學）