抽象、推理與模型：指向“三會”的小學數學作業設計策略

［摘 要］“三會”對應數學素養發展所依賴的抽象、推理與模型三大基本思想，既是數學活動的基本形式，也是形成核心素養的精髓。數學作業設計作為數學學習活動的重要組成部分，同樣聚焦“三會”的數學抽象、數學邏輯、數學建模這三大數學基本思想，以涵育學生的數學眼光、數學思維和數學語言，促進學生數學核心素養的形成與發展。

［關鍵詞］作業設計；“三會”；基本思想;核心素養

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2025）05-0006-04

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在課程目標中指出，通過義務教育階段的數學學習，學生逐步會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界（簡稱“三會”）。“三會”對應著數學素養發展所依賴的抽象、推理與模型三大基本思想，它們既是數學活動的基本形式，也是培養學生數學核心素養的精髓所在。作為數學學習活動的重要組成部分，數學作業設計同樣應聚焦這三大數學思想——數學抽象、數學邏輯和數學建模，旨在培養學生的數學眼光、數學思維和數學語言。下面筆者結合作業設計，分享幾點體會與思考。

一、感悟抽象思想：設計觀察型作業，涵育數學眼光

抽象是舍棄事物的非本質屬性，提取其本質特征的思維過程。數學抽象思想指的是用數學的視角對數量關系和空間形式進行抽象的觀察方式，主要體現在數學抽象和直觀想象兩種核心素養上，是數學眼光的具體體現。觀察是抽象和想象的重要前提，設計觀察型數學作業能夠引導學生參與數學抽象和直觀想象等活動，從而在感悟抽象思想的過程中涵育數學眼光。設計觀察型數學作業時，應引導學生用敏銳的眼光審視數學問題，使問題的觀察方式多元化，既要從題組模塊中“看到”數學的本質，又要從數學關系中“想到”現實中的例子，讓學生在感悟抽象思想的過程中涵育數學眼光，進而形成和發展數學核心素養。

（一）以題組揭本質，“舉三反一”促抽象

所謂“舉三反一”，是指將數量關系相同或結構特征相近的一組作業集中呈現，形成結構化題組模塊，使學生在對比觀察、異中求同中抽象概括出題組模塊的數學本質。教師應具備“控量提質”的意識，重視結構化學習，精心設計數量少、張力強的結構化題組作業，帶領學生展開觀察與分析，揭示一般性的數學公式或數量關系，從而發展學生的抽象概括能力。

例如，教學西師大版教材五年級下冊“列方程解決實際問題”時可設計如下題組模塊作業（見表1）。

觀察與思考：以上各題之間有哪些相同點和不同點？你能用簡約的數學符號語言表示它們之間共同的等量關系嗎？

上述題組通過表格的方式簡潔明了地將等量關系式相同、結構特征相近的三道作業題集中呈現。學生通過觀察與分析，能夠“分”出由于所求問題不同，未知數在方程中的位置也不同；“析”出等量關系式“工作效率之和×合作完工時間=工作總量”的一致性。對于用簡約的數學符號語言表達這等量關系式，有的學生用數學圖形“（□+□）×□=□”來表示，有的學生用字母符號“（a+b）×c=d”來表示。至此，學生能夠透過題組看見數學本質，在具身認識中逐步抽象出列方程解決工程問題的通性與方法，從而實現從練習一組題到掌握一類題的跨越，體悟數學的高度抽象性，發展符號意識和模型意識。

（二）由關系及事例，“舉一反三”顯直觀

所謂“舉一反三”，是指設計由某一抽象數學關系推及相關現實情境的作業，激發學生同中求異的思維方式。教師應具備“由果及因”的思維活動意識，重視逆向思維的訓練，積極提供數學基本關系，讓學生從抽象到具體進行反向觀察與直觀想象，領悟這一簡單的數學關系蘊藏著豐富的數學故事，從而發展直觀想象能力。

例如，教學西師大版五年級下冊“列方程解決實際問題”時可設計如下作業：

你能根據（a+b）×c=d這個等量關系式，編一道解決不同情境的現實問題嗎？

該作業是一個開放性問題，學生根據（a+b）×c=d這一等量關系式，通過情境聯想將解決工程問題的一般性情境進一步拓展到其他現實問題，如打印書稿、生活購物、公路修建等。

（1）小明和小華合作打字，一本70頁的書稿需要7小時。已知小華每小時完成6頁，小明每小時完成多少頁？

（2）學校購買30套衣服，總共花費12000元，已知每條褲子150元，上衣每件多少元？

（3）甲、乙兩隊同時修建一條長300千米的公路，15天完成。甲隊每天修11千米，乙隊每天修多少千米？

學生將工程問題中蘊含的一般性數量關系，通過舉一反三的拓展與遷移，回歸到現實生活中的各類問題，尋找到多角度、多元化的現實原型，從而形成更為豐富、開放和廣泛的認知結構。這個作業將數量關系應用于現實情境，既深化了學生對這一數量關系本質的理解，又發展了學生用聯系的視角觀察問題的數學眼光，滲透了事物普遍聯系的哲學思想。

二、感悟推理思想：設計思考型作業，涵育數學思維

推理是數學思維的核心方式，主要包括合情推理和演繹推理。數學推理思想是指通過數學思維對客觀世界進行科學嚴謹的邏輯推理，是數學思維的重要體現。思考是推理的基礎，設計思考型數學作業可以引導學生經歷數學思維的全過程，幫助他們感悟推理思想，這是培養數學思維的有效途徑。設計思考型數學作業時，應引導學生用縝密的思維方式分析數學問題，并將解決問題的思考過程可視化，既要從感性筆算拓展到理性推算，發展合情推理，又要從抽象把握拓展到直觀解釋，發展演繹推理，讓學生在感悟推理思想的過程中涵育數學的思維，進而形成和發展數學核心素養。

（一）變筆算為推算，以“轉化思維”促推理

所謂“轉化思維”是指利用作業中蘊含的內在關聯元素進行轉化，并開展推理的一種數學思維方式。教師應具備整體關聯意識，設計具有內在關聯性的數學元素，引導學生憑借經驗和直覺對其內在關聯進行大膽推斷和猜想，通過特定的轉化思維創造性地解決問題，發展合情推理意識。

例如，教學蘇教版教材三年級下冊“三位數乘兩位數”時可設計如下作業：

根據34×21=714，不用筆算，你能直接推算出68×21和34×31的結果嗎？思考：這三個算式之間有什么聯系？你是怎樣推算出結果的？在什么條件下，可以根據其中一個推算得出另一個的結果？

這三個算式看似獨立，實則存在關聯。學生通過經驗和直覺發現34×21與68×21這兩個乘法算式中，因數21相同，另一個因數68是34的2倍，因此可以推斷出68×21的積是34×21的積的2倍；而34×31的積比34×21的積多10個34。學生通過轉化思維進行推算，68×21=（34×2）×21=（34×21）×2=714×2=1428；34×31=34×（21+10）=34×21+34×10=714+340=1054?？梢姡瑢W生通過觀察、比較和分析，挖掘出了兩個算式中因數的特定關系，并利用積的變化規律和乘法分配律展開推理計算，從而發現只要兩個乘法算式之間存在內在關聯，就可以通過推算得出計算結果。這樣，從感性筆算拓展到理性推算，由具體到一般，不僅發展了學生的推理意識和運算能力，還滲透了數學的轉化思想。

（二）變抽象為直觀，以“形象思維”助推理

所謂“形象思維”是指借助具體可感的直觀圖形、實物或操作進行分析推理的一種數學思維方式。教師應具備直觀具象意識，發揮學生直觀形象思維的優勢，設計將一般抽象概念轉化為具體直觀情形的演繹推理作業，引導學生運用特定的形象思維來解釋和說明內在的一般規律，助力學生發展演繹推理意識。

例如，教學蘇教版教材三年級下冊“三位數乘兩位數”時可設計如下作業：

用多種方法算出38×126的結果，并畫圖解釋你的想法。

完成此作業時，學生的思考方式主要有以下幾種：①38×126=30×126+8×126=4788；②38×126=38×100+38×20+38×6=4788；③38×126=40×126-2×126=4788。對于方法②，有的學生運用乘法分配律，將38×126看作38×（100+20+6），再根據乘法分配律將其分解成38×100+38×20+38×6后再計算；另一些學生則結合長方形面積模型進行直觀解釋（如圖1），左邊長方形的面積是38×100，中間長方形的面積是38×20，右邊長方形的面積是38×6，合起來的面積即為38×126。學生通過直觀可見的長方形模型解釋算式，不僅更好地理解了算式的含義，實現了思考方式的可視化，還展現了從抽象到具象的演繹推理過程。通過這種方式，學生自然且深刻地體會到數學推理的嚴謹性，發展了推理意識、幾何直觀和運算能力，同時增強了循證意識。

三、感悟模型思想：設計表達型作業，涵育數學語言

數學模型是根據特定的研究目的，采用形式化的數學語言表征研究對象特征或關系的一種數學結構。數學模型思想是指用數學語言描述現實世界的一種表達方式，是數學語言具體應用的體現。表達是建模的核心方式，設計表達型數學作業，引導學生參與描述和交流等數學活動，幫助他們感悟模型思想，是培養學生數學語言的重要途徑。在設計這類作業時，應引導學生用簡潔的數學語言表達思考過程，并且數學問題的表達方式應多樣化：既能讓學生通過從單純求解到構題描述的轉變來感悟數學模型，又能從關系理解到直觀表達的過程中建構數學模型，讓學生在感悟模型思想的同時提升數學語言能力，從而促進數學核心素養的形成與發展。

（一）變求解為構題，以“數學化表達”悟模型

所謂“數學化表達”是指利用數學語言發現并提出數學問題，將生活中的問題轉化為數學問題的過程。這一轉化是感悟數學模型結構的邏輯起點。教師應具備問題生成意識，引導學生經歷將現實問題轉化為數學問題的過程，深化學生對關鍵信息的觀察、思考、發現與描述，從而感悟數學模型的基本結構，進而發展模型意識。

例如，教學西師大版教材三年級下冊“歸一問題”時可設計如下作業：

三位好朋友一起來到古田圣地游客中心購買同一款式的紅色之旅紀念品“小紅軍吹號”。李明買了2個花費30元，張平買了3個，王峰付了75元。

（1）思考與解答。①張平花費多少元？②王峰買了多少個？

（2）思辨與描述。解決以上兩個問題的思考過程有什么相同點和不同點？

在“思考與解答”部分，學生能夠理解“先求單價，再求購買3個的錢數或75元能買幾個”的解題過程。但如果僅停留在求解層面，難以幫助學生建立“歸一問題”的求解模型，因此，筆者專門設計了“思辨與描述”任務。學生通過描述與交流，發現這兩個現實問題的解決過程都需要先算出“每份數”，不同點在于，前者屬于求總量的“正歸一”問題，后者屬于求數量的“反歸一”問題。這一設計強化了學生對“歸一問題”數學模型基本結構的感悟。如此，通過思辨與描述突破單純求解，學生能夠經歷數學問題的再創造過程，清晰地區分“歸一問題”的兩類題型，強化“每份數”在“歸一問題”中的橋梁作用，進一步體會數學應用的廣泛性，發展模型意識和應用意識。

（二）變理解為表達，以“直觀化表達”建模型

所謂“直觀化表達”是指利用圖形、圖像或圖表等手段，描述數學模型結構的一種表達方式。受認知規律和思維水平的限制，小學生通常需要借助圖式語言來理解模型結構。教師應具備圖式表征意識，充分利用圖式語言的形象性，設計運用圖式語言進行直觀表達的作業，使學生在切身體悟中建構數學模型，進而發展學生的模型意識。

例如，教學西師大版教材三年級下冊“歸一問題”時可設計如下作業：

暑假到了，小明計劃閱讀世界名著《海底兩萬里》。前3天他一共看了60頁，如果照這個速度繼續看，6天一共可以看多少頁？（先畫圖，再解答）

學生的想法主要有以下兩種。

這兩種解法在思路上有所不同，但本質上都是先求出“每份數”，再算出“總數”。如此設計，通過直觀表達幫助學生理解數學問題的關系，有助于學生直觀地體會到“歸一問題”的多樣化表達，從而深入建構“歸一問題”的求解模型，發展模型意識和幾何直觀等數學核心素養。

指向“三會”的小學數學作業設計，應以發展學生核心素養為目標，重視觀察型、思考型和表達型作業的設計，讓學生在完成作業的過程中感悟數學基本思想，形成數學眼光、思維和語言，進而發展數學核心素養。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 欒慶芳，朱家生.數學情境教學研究綜述[J].數學教學通訊，2006（3）：1-4.

[2] 洪燕君.基于義務教育數學課程標準的核心素養的理解與實施：訪談史寧中教授[J].數學教育學報，2023，32（3）：64-67.

[3] 鐘世文.加強數學推理 彰顯運算本質：以“三位數乘兩位數”的拓展練習為例[J].福建教育，2021（27）：52-53.

【本文系福建省教育科學“十四五”規劃2023年度“協同創新”專項課題“核心素養導向下小學數學大單元作業設計實踐研究”（Fjxczx23-126）研究成果?！?/p>

（責編" " 金" " 鈴）