初中數學函數解題的有效方法

陳楚燁

摘要：函數作為初中數學的重要模塊，十分注重學生解題能力、思考能力和轉化思維.結合函數不同類型以及知識難度，進行多元化解題方法選擇，有利于拓寬學生數學思維，在觀察、總結、分析、探究中找到核心，通過函數習題實踐探索，可切實提高學生解題的準確率和有效性.本文中就初中數學函數解題的有效方法進行了探究.

關鍵詞：初中；數學教學；培養；解題能力

新課程標準革新了傳統無趣的課堂灌輸模式，對學生的數學實踐能力，教師的教學指導能力都提出了更高的要求.在初中階段，解決數學問題時，選對數學方法，能夠節省時間，起到事半功倍的效果.在不同的教學階段，教師應該主動分析問題，更新教學理念，打破固化模式，提高教學的有效性.

1 數形結合法，培養函數直觀轉化意識

與小學階段相比較，初中數學知識具有較大的跨越性，尤其是函數部分，不論是單元內容講解還是主題內容分析，基礎知識薄弱的學生理解起來都會十分困難.教師應該在掌握函數本質特征的基礎上，準確利用函數圖象，數形結合，找到變量和常量，在分析和思考中逐漸掌握教學規律，讓學生更加直觀、生動地理解知識重點，加速提高數學思維能力.

習題1 若函數y₁=|x-1|和y₂=-13x+53的圖象相交于A（-1，2），B（2，1）兩點.當y₁>y₂時，求x的取值范圍.

分析：習題1是初中函數經典題型之一，在解答過程中，數形結合是指將已知信息與圖象相結合，以此探究x的取值范圍.

首先，畫出兩個函數的圖象，并找到交點A，B以及直線x=-1和x=2的位置，如圖1和圖2所示.

其次，在教師的引導下，結合圖象分析y₁和y₂，將x值代入其中，獲得當y₁>y₂時，x取值范圍為點A左側和點B右側部分，因此得到x<-1或x>2.

2 利用方程思想，增強函數應用能力

方程思想與初中函數知識內容對應性較強，通過假設未知數x，y，挖掘已知量和未知量的變化規律，結合函數基礎知識內容，整合數學處理方法，轉變思維模式，對方程進行思考和探究，提高學生數學知識的理解能力，拓寬解題思路，深層次把握函數知識，靈活分析方程要義，將抽象知識進行具象化轉變.

習題2 當函數y=kx²+（k-3）x+1的圖象與x軸在原點的右側有交點時，請求出k的取值范圍.

分析：顯而易見，這類函數題型已經不能完全依靠圖象獲得最終答案，而是需要細致分析已知條件，找到突破口.利用函數知識，探究是否可以借助方程對其進行拆解，需要分別探究k=0和k≠0時，函數的取值情況.當k=0時，可得y=-3x+1，當k≠0時，x=0，y=1;k<0時，函數圖象與x軸有兩個交點，分別在原點兩側；k＞0時，函數的圖象為開口向上的拋物線，且相應方程必須滿足Δ=（k-3）²-4k≥0和-k－32k>0兩個條件，才能得出0

3 生活案例法，提高函數實際解題效果

生活即教育，社會即學校.為使學生能真正了解函數的應用條件以及核心內容，教師應該主動思考生活中常見的函數問題，與生活內容接軌，引導學生在實踐中感受函數的內在魅力，適當增加教育案例，為學生更快解決生活中的具體函數問題奠定基礎，展現函數實際應用效果.

習題3 商場銷售某種產品，單件成本為40元，十月份銷售額經過隨機抽取得到表3，假設當天售價不變，則將生活經驗和函數知識相結合，完成如下兩個問題的研究.

（1）探究每天售出件數y與每件售價x之間的函數關系.

（2）若商場有兩名營業員，當每天銷量超過168件時，需要增加一名營業員，此時，假設營業員的每天工資為40元，則每件產品應該怎樣定價才達到每天利潤最大化？

分析：對部分學生而言，單純處理函數之間的關系，整體能力不足，為更好地提高學生對函數的理解和應用效果，可設計此種與日常生活息息相關的習題類型，鼓勵學生轉換思維角度，多方面解決問題，提高數學理解能力.在解答問題（1）時，通過知識轉化，能夠得到函數關系式y=600-6x.在解答問題（2）時，將y=168代入函數y=600-6x得出x=72.找到自變量和因變量，并將每天純利潤設為m，分別計算x<72和x≥72的結果.當x<72，m=-6（x-70）²+5 280，則x=70，m的最大值為5 280；同理當x≥72時，m=-6（x-70）²+5 320，則x=72，m的最大值為5 296.顯而易見，當產品定價為72元時，每天利潤最大.

4 情境體驗法，延伸函數技巧運算模式

生動逼真的數學情境對學生理解數學知識、掌握解題方法大有裨益.要想讓學生真正理解函數知識，掌握公式運用技巧，教師作為引導者，可以通過情境創設，讓學生參與其中，在知識的應用中增強數學關鍵能力，并在對比分析過程中加強對函數知識的理解.

習題4 如圖3，已知矩形OABC的長OA為3，寬OC為1，將△AOC沿著AC翻折，則可以得到△APC，如果點P和點A均在拋物線y=-43x²+bx+c上，請求出b，c的值.

分析：這類題型考查學生對函數知識和其他內容的應用技巧，注重三角形和拋物線的結合，增強學生函數知識的遷移應用能力.因此，解析過程中，為調動學生主體意識，可以創設實踐情境，讓每位學生根據習題要求，拿出紙張進行折疊，在動手參與中深化對點A，B，C，D，P，O位置關系的理解.通過計算，確定∠PCB的度數為30°，點P的具體坐標為32，32.然后根據圖形，將已知條件代入，得-43×34+32b+c=32，且-43×3+3b+c=0，解得b=3，c=1.由此可見，對于學生不容易理解的函數知識點，通過實踐體驗，能夠在實踐探索中獲得更好的理解.

5 小組競賽法，深化函數概念內涵

初中學生好勝心強，對函數知識、技巧等方面理解能力強.此時在教學過程中，教師應該準確抓住函數基礎概念、性質等，為不同層次的學習小組創設難易程度不同的問題，倡導他們相互交流與探索，共同提高解題質量，提升對函數的認識.

習題5 如圖4，一只蟑螂從點O出發，沿著扇形OAB勻速爬行一周，蟑螂爬行時間設為t，蟑螂到點O的距離為s，請分析s與t之間的函數關系，從選項A，B，C，D中選擇相應的答案.

分析：引導學生解答這類題型時，首先要關注學生的數學水平，掌握學生對函數基礎概念、表達方式等方面的理解能力，根據學生的差異性，針對習題，按照綜合素質層次進行分組，鼓勵小組內部之間平等交流，相互幫扶，合力探究出蟑螂的路線以及運動時間t和距離S之間函數表達式.為增加難度，還可以就原題目讓各組之間相互比拼，逆向推理，給剩下的三個選項分別找到s與t的函數關系式.利用學生爭強好勝的心理，突出問題核心，深入培養學生數學邏輯思維、遷移思維和探究思維，全面增強初中函數教學效果.

總而言之，函數問題千變萬化，教學方法和教學思維十分考查學生邏輯思維、探究思維、遷移實踐思維.在教學中，教師應該從學生角度出發，靈活掌握教學技巧，創新指導模式，幫助學生切實掌握函數解題的有效方法.