激活·建構·遷移：初中數學主題化習題課探索

摘要：結合具體案例闡述主題化習題課的內涵，其環節一般包括激活經驗獲得主題、聚焦本質建構方法、遷移應用發展能力三個關鍵步驟，對教師的專業能力提出了更高的要求.選擇主題要符合學生的需求，在實施教學時要突出對學生思維能力的培養.

關鍵詞：主題化；習題課；主題化習題課

數學習題是學生鞏固知識、總結方法、形成經驗的載體，是學生學習和教師教學不可或缺的一部分.然而，當前初中數學習題課存在習題不具備典型性、課堂一味強調大容量訓練等問題，導致學生對習題課缺乏興趣、思維難以提升.筆者結合多年教學經驗，用主題化習題課研究融合知識技能的鞏固提升和數學思想方法的理解，從單元知識網絡結構化、問題解決思考有序化、數學應用拓展生活化三個視角探索主題化習題課教學的一般形式和方法.

1 主題化習題課的概述

所謂主題化習題課教學^［1］，是指在基礎知識的回顧和整理及基礎知識、基本技能訓練后，綜合運用單元知識對某些類別的典型或重要問題進行深入研究，體會數學思想方法，積累可遷移的解題經驗.筆者將主題化習題課分為：主題化單元復習習題課、主題化專題復習習題課、主題化拓展性教學習題課.

主題化單元復習習題課（以下簡稱單元習題課），通常安排在某個章節或單元內容學習之后，學生通過適量的、有梯度的習題的解決，梳理出知識結構，串珠成鏈，體會其思想方法，達到單元知識網絡化的目的.主題化專題復習習題課（以下簡稱專題習題課），一般安排在各單元學習之后，或是專題復習之時，運用“整體—聯系”的視角，將各個相關知識串線成網；或是運用一種思想方法解決一類數學問題，做到問題解決思考有序化，它能有效解決教材中各塊知識螺旋上升的問題.主題化拓展性教學習題課（以下簡稱拓展習題課）是將課內、課外的知識組織起來，形成一個具有挑戰性的學習主題，實現跨學科知識的融合，學生通過運用數學知識或思想解決這類問題，實現發展思維、提升素養的目的，做到數學應用拓展生活化，它是教學的有益補充.

2 主題化習題課的教學

主題化習題課教學能將零散的、碎片化的知識進行整合，有助于學生提煉解決問題的一般方法，在知識的再認識過程中加深對其本質的理解，進一步領悟數學思想方法，達到知識的融會貫通、運用自如.筆者在研究的過程中形成了如下教學思路（如圖1），使得單元知識網絡結構化，問題解決思考有序化，數學應用拓展生活化.現分步驟進行闡述.

2.1 激活經驗，獲得主題

此環節的重點在于通過精心設置研究主題，以典型問題引導學生回憶已學內容，激發學習興趣.在實施過程中要注意構建合適的主題，厘清知識結構或所呈現的思想方法，并制定好相應的教學目標；依據目標，選擇典型的習題（或題組），學生自主解決問題，教師及時追問，以此達到激活學生經驗的目的，所設置的習題應具備典型性、思考性、啟發性，并且習題入口要寬，難度不宜過大.

2.1.1 單元習題課：激活舊知，思考知識之間的關聯

單元習題課，重在激活舊知，啟發學生思考零碎的知識點之間是否有關聯，能否建立聯系.例如，在學習二次函數的圖象和性質之后安排的習題課，設計如下引例.

案例1 函數y=x²-2x-1圖象上有兩點P（x₁，p），Q（x₂，q），且p＞q.請你找出一組符合條件的x₁，x₂的值.

教學簡述：學生通過嘗試，寫出x₁，x₂的值.教師提問“請判斷你所寫的值是否正確，你是怎樣判斷的？”自然獲得代入法.接著，教師通過追問“有沒有一眼望穿的方法？”順勢歸納出圖象法，并引導學生將所寫的x₁，x₂進行分類，根據對稱軸（直線x=1）及p＞q的情況分成對稱軸左側、右側、兩側三類，由此啟發學生思考這三類情況涉及的數學知識.

分析：通過此例，一方面，學生歸納了解決此類問題的常用方法（代入法和圖象法）；另一方面，通過啟發學生思考解法背后隱藏的數學知識，在數學知識、解題策略之間架起來一座橋梁，構建了研究主題.

2.1.2 專題習題課：激活經驗，思考問題解決的方法

專題習題課，重在激活經驗，構建解決此類問題的一般方法，形成規范、有序思考問題的習慣.例如，在“運用對稱解決一類幾何問題”^［1］習題課中，設置如下引例.

案例2 在△ABC中，AB=AC，若P是AB邊上一點，連接CP.請在AC邊上找一點Q，連接BQ，使之變為軸對稱圖形，寫出一組條件.

教學簡述：通過添加條件（如BP=CQ），變成軸對稱圖形后，思考是否可以得到有關相等的角、相等的線段、全等圖形的新結論.細思緣由，均源于等腰三角形的對稱性.進一步生成新問題——在①AB=AC，②BQ=CP，③BP=CQ中任選兩個為條件，另一個為結論構成命題，試寫出其中的真命題.

分析：從熟悉的等腰三角形中積累經驗，可先將不對稱的圖形，通過添輔助線，變成軸對稱圖形（如圖2）；觀察通過添輔助線后出現了怎樣的新圖形，從新圖形中發現了怎樣的結論或新的解題思路，由此歸納解決這類對稱圖形問題的一般方法，為運用此方法解決問題作準備.

2.1.3 拓展習題課：激活思維，思考研究問題的方法

拓展習題課，重在以知識點為紐帶，激活思維，構建學習主題.如在“黃金分割主題化拓展性教學”^［2］中，由斷臂維納斯雕像抽象出黃金分割的概念、計算出黃金比后，設置如下引例.

案例3 （1）如圖3，設AB＝a，BC＝b，記φ=a+ba=ab，則（）.

A.φ²=1+φ

B.φ²=1-φ

C.φ²=5+φ

D.φ²=5-φ

（2）如圖3，B是線段AC的黃金分割點，分別以AB，BC為邊向外作正方形ABFE和正方形BCHG，得到矩形ACME（如圖4）.通過計算，找出圖4中的黃金矩形.

教學簡述：對于第（1）題，學生得到φ²＝φ＋1后，教師啟發，兩邊同除以φ后，得φ=1+1φ，進而可得φ=1+11+1φ，φ=1+11+11+……；若寫成假分數，發現11，21，32，53，85，……；學生發現斐波那契數列，通過計算，發現這列數值接近黃金比的倒數1.62.對于第（2）題，學生通過計算，發現矩形HMFG也是黃金矩形，教師通過追問“在矩形HMFG中再得到一個黃金矩形”，近而體會無限分割的思想.

分析：通過黃金分割的代數表達和其在二維圖形中的幾何表達設置引例，關聯繁分數斐波那契數列、黃金矩形等相關知識，激活問題解決的經驗，體會用有限估計無限的思想以及無限分割的思想，為引出黃金螺線、斐波那契螺線作鋪墊，以此為數學應用拓展生活化作準備.

2.2 聚焦本質，建構方法

主題化學習不只是學習單一的概念、原理，更重要的是基于理解將看似孤立的、靜態的、分散的學習內容，內在地“組織”起來，形成有一定關聯的知識結構.學習過程中需要引導學生用“怎樣研究一類數學對象”的大觀念引領知識體系的重構，其核心在相互聯系中深化對知識的理解，體會數學思想方法，建構解決問題的方法.

2.2.1 單元習題課：單元知識網絡化

單元習題課，重在將零碎的知識進行重構，使學生從整體上理解知識的本質，建構知識體系.

例如，在“解一元二次方程習題課”^［3］中，將開平方法的步驟中增加一步，由x²＝a，得（x＋a）（x＋a）＝0，則x＝±a，由此可將開平方法和因式分解法統一起來；對于配方法，將ax²＋bx＋c＝0（a≠0）配成（2ax＋b）²＝b²-4ac≥0后，利用因式分解得（2ax＋b＋b²-4ac）（2ax＋b-b²-4ac）＝0，則2ax＋b＋b²-4ac＝0或2ax＋b-b²-4ac＝0，進而獲得一元二次方程的求根公式.這樣，學生就理解了配方法、公式法和因式分解法一樣，都是通過降次實現“化歸”.這樣將四種解法統一起來，理解四種解法的內在一致性，形成知識的網絡化.

2.2.2 專題習題課：問題解決的思考有序化

專題習題課，重在從不同知識背景中建構出解決問題的一般方法，使問題解決的思考有序化.

在案例2中，已知AB=AC，BQ=CP，未必能推出BP=CQ.因為以B為圓心，以BQ長為半徑作圓，與AC邊有兩個交點.此時可繼續研究，將另一個交點記為Q′，如圖5，連接BQ′后，觀察產生的新圖形——等腰三角形BQQ′和兩對相似三角形（△BPF∽△BQA，△FQC∽△APC），此時就可以求任何一條線段的長度.引導學生嘗試添加條件，給出一些線段的長度，求BF的長.

教師也可以增加難度，給出條件“AB=AC=10，BP=4，CQ=2”，讓學生思考具體的解法.

最后形成解決此類問題的一般思考方式：在對稱圖形中，嘗試先將不對稱問題通過添輔助線將之轉化成軸對稱圖形問題，然后觀察產生了哪些新的圖形，從新圖形的解題套路中獲得解題思路.

2.2.3 拓展習題課：數學拓展應用生活化

拓展習題課，重在通過數學的學習，建立數學和現實生活的聯系，使學生學會用數學的眼光觀察世界，掌握研究問題的一般方法.例如，在案例3中，學生體會到無限分割的思想后，得到斐波那契螺線和黃金螺線（如圖6），同時展示如圖7的圖片.

培養學生能用數學的眼光從現實生活中發現斐波那契螺線、黃金螺線，建立他們與黃金矩形的廣泛聯系，同時也獲得了一類幾何對象的研究方法.

2.3 遷移應用，發展能力

主題化學習還需要將知識或方法遷移到新的問題情境中加以應用，經歷數學知識的“再創造”過程，體會知識的本質，而不是機械的記憶、模式化的套用和重復性的訓練.在主題化習題課中，所使用的問題應具有一定的梯度和層次性，幫助學生充分挖掘問題的核心與本質，在變化和應用中促使學生深入思考，在不斷轉化過程中把握問題的本質，尋找新的解決問題的方法，在問題解決過程中，促進對數學知識的深入理解以及方法的掌握，拓展思維的深度和廣度，從而發展數學能力，實現深度學習.

在單元習題課“一元二次方程解法習題課”的遷移環節，可給出習題“解方程x-1＝2”.面對這樣相對陌生的問題，學生需要對知識進行遷移.由解一元二次方程的經驗可知，解方程最終需要化成“x＝？”的形式，怎樣化歸，學生自然會想到兩邊平方.這樣，學生就將一元二次方程解法中的“通過降次”實現化歸，正向遷移到“通過兩邊平方”實現化無理方程為有理方程的化歸，做到思想方法上的遷移.

在專題習題課“運用對稱解決一類幾何問題”^［1］的遷移環節，安排如下習題：

如圖8，在矩形ABCD中，CE平分∠ACB，點F是AD的中點，若∠1=∠2，求ABBC的值.

利用矩形ABCD中AD邊的中點F，通過連接BF（如圖9），或取BC中點M，連接DM（如圖10），將之變成軸對稱圖形，然后觀察，產生新的圖形等腰三角形，即可推得答案，實現解題策略上的遷移.

在拓展習題課“黃金分割主題化拓展性教學”遷移環節，安排學生研究由人馬圖抽象成的正五邊形ABCDE，如圖11.學生根據前兩個環節，獲得了研究幾何對象的經驗，將此遷移到正五邊形，只需研究正五邊形的角、邊以及線段之間的關系.學生經過合作，獲得了“F和J是對角線BE的一對黃金分割點”“sin 18°·cos 36°＝14”等遠超老師預設的結論.學生學會了如何研究一個幾何對象，實現了研究方法上的遷移.

3 主體化習題課的教學思考

3.1 主題的選擇要契合學生的需要

在確定主題化習題課學習主題時應充分考慮學生的需要，明確哪些主題能將看似孤立的、分散的知識按照一定的結構有機結合在一起，實現知識的融會貫通；哪些主題能幫助學生揭示其背后的通性通法，高效地解決某一類問題；哪些主題能幫助學生建立數學與其他學科的聯系，體會數學的基礎性和應用性.例如，學生在學完一元二次方程的四種解法后，需要選擇適當的解法快速求解方程，需要體會四種解法的內在一致性，形成知識的網絡化.再如，學生學完等腰三角形、矩形、菱形、正方形等軸對稱圖形之后，需要利用軸對稱圖形的性質，快速轉化條件形成解題有序思考路徑.又如，學生學完黃金分割，需要利用黃金比串連起分數、斐波那契數列、黃金矩形等相關知識，需要運用數學的眼光發現人文、建筑、藝術中蘊含的“黃金”之美，形成研究一類新的幾何對象的一般方法.教師如果善于發現學生的這些需要，那么利用適量的、典型的、有啟發性的習題.即可構建起邏輯連貫、前后一致的學習主題.

3.2 教學的實施要突出思維的培養

學生思維能力的培養貫穿整個主題化習題課的教學.在教學實施環節，啟發學生思考，培養學生有序思考的能力，不一味機械地重復操練，讓學生“知其然，知其所以然，何由以知其所以然”.例如，在揭示一元二次方程四種解法內在一致性的單元習題課中，學生知道四種解法均是通過“降次”的方法實現化歸之后，教師通過設置問題“x+1＝2怎樣解”，通過追問“解方程最終要化成什么形式”“通過怎樣的方法能化成這樣的形式”來啟發學生思考，讓學生明確也可通過“兩邊平方”實現將無理方程轉化為有理方程，進一步體會化歸思想.又如，學生掌握了研究幾何對象的一般方法后，通過自主研究正五邊形，獲得了比教師預設的更多的結論.如圖11中，可以利用JE，AJ重新構造正五邊形，新構造的正五邊形與原正五邊形的邊長之比是5-12，而且可以一直構造下去.這一成果離古希臘學者發現和證明無理數僅一步之遙.更重要的是，在解題過程中先讓學生充分思考，做到“學生先行、交流在中、教師斷后”，幫助學生透過現象看本質，達到會一題通一片的效果，培養有序思考能力，發展數學核心素養.

3.3 教學的深入取決于教師專業素養

主題化習題課的設計與實施需要教師有系統、整體地分析內容及駕馭課堂的能力，需要在理解數學、理解學生、理解教學的基礎上設計主題，幫助學生連貫、深入、有序地研究和思考問題；需要選擇、改編或者原創典型的、適量的、有啟發性的習題，在更高認知層次上形成解決一類問題的一般方法，發展學生的核心素養.這些均需要教師有較高的專業素養.教師應不斷加強這方面的學習和思考，將主題化習題課教學推向深入.

參考文獻：

［1］金紅江.再談主題化習題課教學設計［J］.中學數學，2021（22）：35-36，50.

［2］金紅江，王紅權.黃金分割主題化拓展性教學活動設計［J］.中國數學教育，2022（23）：31-35.

［3］金紅江. 基于整體分析談初中數學習題課的設計——以解一元二次方程習題課為例［J］.中學數學，2020（14）：38-40.