真假辨析，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)

周志寬

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生逐步會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.筆者下面以一道初中幾何命題的真假辨析為例，結(jié)合“一般觀念”，談?wù)勔痪€數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中該如何貫徹新課程理念，在“三會”中發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1 問題呈現(xiàn)

滬科版數(shù)學(xué)教材八年級（上）第14章，在三角形全等判定方法的探究中，“SSA”即兩邊及其中一邊的對角分別相等的兩個三角形全等是假命題，可以舉如下反例：

如圖1，在△ABC中，作BD=BA交AC于點(diǎn)D，但△ABC與△DBC不全等.

在什么情況下，兩邊及其中一邊的對角分別相等的兩個三角形會全等呢？

已知在△ABC與△A₁B₁C₁中，AB=A₁B₁，BC=B₁C₁，∠C=∠C₁，試探究滿足什么條件△ABC與△A₁B₁C₁全等？

2 問題探究

探究1：若∠C=∠C₁=90°，△ABC與△A₁B₁C₁一定全等嗎？

方法一：通過平移，兩個三角形可拼成一個等腰三角形，可得一銳角相等，再運(yùn)用“AAS”可證.說明這兩個三角形均為直角三角形時，它們一定全等.

證明：在平面內(nèi)移動△ABC，使點(diǎn)B和點(diǎn)B₁、點(diǎn)C和點(diǎn)C₁重合，點(diǎn)A和點(diǎn)A₁在B₁C₁的兩側(cè)，如圖2.

由∠A₁C₁A=∠A₁C₁B₁+∠ACB=90°+90°=180°，可知A₁，C，A三點(diǎn)在同一條直線上.

又B₁A=B₁A₁，所以∠A=∠A₁.

方法二：根據(jù)勾股定理在直角三角形中由兩邊相等可證第三邊相等，再用“SSS”可證.

結(jié)論1：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（“HL”）.

探究2：若∠C=∠C₁＜90°，△ABC與△A₁B₁C₁全等嗎？

類似于圖1，同樣可構(gòu)造不全等的兩個三角形作為反例，則△ABC與△A₁B₁C₁不一定全等.

探究3：若△ABC與△A₁B₁C₁均為銳角三角形，兩三角形一定全等嗎？

分析：如圖3，過點(diǎn)B，B₁分別作BD⊥CA于點(diǎn)D，B₁D₁⊥C₁A₁于點(diǎn)D₁，可證△BCD≌B₁C₁D₁，得BD=B₁D₁；再證Rt△ABD≌Rt△A₁B₁D₁，得∠A=∠A₁，可證△ABC≌△A₁B₁C₁.則兩三角形一定全等.

證明：過點(diǎn)B，B₁分別作BD⊥CA于點(diǎn)D，B₁D₁⊥C₁A₁于點(diǎn)D₁.則∠BDC=∠B₁D₁C₁=90°.

在△BDC與△B₁D₁C₁中，

∴△BDC≌B₁D₁C₁（AAS）.

∴BD=B₁D₁.

易證Rt△ABD≌Rt△A₁B₁D₁（HL）.

∴∠A=∠A₁.

在△ABC與△A₁B₁C₁中，

∴△ABC≌△A₁B₁C₁（AAS）.

結(jié)論2：兩邊及其中一邊的對角（對角是銳角）分別相等的兩個三角形不一定全等，但兩邊及其中一邊的對角分別相等的兩個銳角三角形一定全等.

探究4：若△ABC與△A₁B₁C₁均為鈍角三角形，兩個三角形一定全等嗎？

不一定全等.反例：如圖4，△ABA₁中，∠ABA₁=90°，且BA=BA₁，延長AA₁至點(diǎn)C，連接BC.則△CBA與△C₁B₁A₁均為鈍角三角形.

探究5：若∠C=∠C₁＞90°，△ABC與△A₁B₁C₁一定全等嗎？

如圖5，過點(diǎn)B，B₁分別作BD⊥CA交AC的延長線于點(diǎn)D，B₁D₁⊥C₁A₁交A₁C₁的延長線于點(diǎn)D₁，可證△BCD≌B₁C₁D₁，得BD=B₁D₁.用“HL”再證Rt△ABD≌Rt△A₁B₁D₁，得∠A=∠A₁，即可證△ABC≌△A₁B₁C₁.

證明：過點(diǎn)B，B₁分別作BD⊥CA交AC的

延長線于點(diǎn)D，

B₁D₁⊥C₁A₁交A₁C₁的延長線

于點(diǎn)D₁，則∠BDC=∠B₁D₁C₁=90°.

∵∠ACB+∠BCD=180°，

∠A₁C₁B₁+∠B₁C₁D₁=180°，

∠ACB=∠A₁C₁B₁，

∴∠BCD=∠B₁C₁D₁.

易證△BCD≌△B₁C₁D₁.

∴BD=B₁D₁.

在Rt△ABD與Rt△A₁B₁D₁中，

∵AB=A₁B₁，

BD=B₁D₁，

∴Rt△ABD≌Rt△A₁B₁D₁（HL）.

∴∠A=∠A₁.

在△ABC與△A₁B₁C₁中，

∵∠A=∠A₁，

∠ACB=∠A₁C₁B₁，

AB=A₁B₁，

∴△ABC≌△A₁B₁C₁（AAS）.

結(jié)論3：兩邊及其中一邊的對角分別相等的兩個鈍角三角形不一定全等，但對角是鈍角時，對應(yīng)的兩個三角形一定全等.

3 延伸應(yīng)用

在△ABC中，過∠BAC角平分線上任意一點(diǎn)P，分別作PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F，若BE=CF，試判斷AB一定等于AC嗎？并說明理由.

分析：解決該問題的關(guān)鍵是畫圖.需考慮點(diǎn)E，F(xiàn)在AB，AC上的位置及點(diǎn)P與△ABC的位置關(guān)系.借助幾何畫板探究，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)同時在AB，AC上或同時在其延長線上，AB一定等于AC.如圖6，其中點(diǎn)P位于BC上（左一），通過兩次證全等即可，此種情況最特殊，證明最簡單；后三種情況連接PB，PC可以轉(zhuǎn)化，同理可證.

當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)不同時在AB，AC上或不同時在其延長線上，AB一定不等于AC，如圖7.

綜上，AB不一定不等于AC.

4 研究感悟

4.1 會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界

由探究可知，“兩邊及其中一邊的對角分別相等的兩個三角形全等”是假命題；若對角是直角或鈍角，則兩個三角形一定全等，若對角是銳角則不一定全等；若在直角三角形或銳角三角形中，則兩個三角形一定全等，若在鈍角三角形中則不一定全等.這幾個命題，真真假假，教學(xué)中只有讓學(xué)生親身體驗(yàn)，經(jīng)歷分析和比較的過程，感悟共性，分辨差異，才能看清問題的本質(zhì)，形成合適的類，通過幾何直觀提升抽象能力，會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界.

4.2 會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界

在解決問題的過程中，真命題的證明都運(yùn)用了“一般觀念”中分類、轉(zhuǎn)化、由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，充分利用已有元素探究兩個三角形中其他元素是否唯一確定.以上問題情境充分運(yùn)用“一般觀念”引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷幾何命題發(fā)現(xiàn)、猜想、證明的過程，感悟歸納推理和演繹推理的傳遞性，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界.

4.3 會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界

從問題呈現(xiàn)、猜想、證明、歸納體現(xiàn)出研究數(shù)學(xué)問題的基本套路.對于兩個假命題，均舉反例說明；對于真命題，運(yùn)用演繹推理予以嚴(yán)密論證，體現(xiàn)了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神.通過引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷針對圖形性質(zhì)、關(guān)系、變化確立幾何命題的過程，體會數(shù)學(xué)命題中條件和結(jié)論的表述，會借助圖形分析條件與結(jié)論之間的邏輯聯(lián)系，感悟數(shù)學(xué)表達(dá)的準(zhǔn)確性和嚴(yán)謹(jǐn)性，發(fā)展模型觀念，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.

中國科學(xué)院院士張景中在《走進(jìn)教育數(shù)學(xué)》中指出，數(shù)學(xué)教育工作者應(yīng)致力于“把數(shù)學(xué)解題變?nèi)菀住钡难芯?因此，盡可能在教學(xué)中尋求更通用、更有力的解題方法，以“一般觀念”引領(lǐng)，借助現(xiàn)代信息技術(shù)，為學(xué)生提供有章可循的解決問題的途徑，“把數(shù)學(xué)變?nèi)菀住保嬲龑?shí)現(xiàn)減負(fù)增效.