淺談小學數學借助幾何直觀促進學生思維的進階

【摘 要】幾何直觀是數學核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，培養(yǎng)學生的幾何直觀對提升他們的數學思維起著不可忽視的作用。在小學數學課堂教學中，教師更要在學生已有直觀經驗的基礎上滲透與幾何直觀相關的教學活動，幫助學生形成幾何直觀核心素養(yǎng)。本文從幾何直觀助力概念教學、建立直觀模型和助力數學表達三個方面淺析如何借助幾何直觀提升學生數學思維。

【關鍵詞】小學數學 幾何直觀 核心素養(yǎng)

幾何直觀素養(yǎng)的形成能夠幫助學生把握數學問題的本質，明晰思維的路徑，提升數學思維能力。教師在教學中應注重幾何直觀思維的滲透，培養(yǎng)學生數學思維能力，提升學生解決問題的能力。在此過程中，可引導學生根據問題描述畫出相應的圖形，分析圖形的性質特征，建立數與形之間的聯(lián)系，構建數學問題的直觀模型。

在當下的數學課堂教學中，部分教師缺少對幾何直觀內涵的理解，錯誤地認為在教學中運用直觀模型就是培養(yǎng)學生的幾何直觀，只重視直觀，忽視引導學生利用圖形對數學知識的本質進行歸納、分析，致使學生的幾何直觀素養(yǎng)得不到提升。筆者認為滲透幾何直觀的教學是依托于圖表或圖形，引發(fā)學生的數學思考，引導學生探究知識的本質，培養(yǎng)分析、解決問題的能力，促進學生思維的發(fā)展。借助幾何直觀解決問題、學習數學知識能引導學生主動思考、積極探究，引導學生建立一種深入、全面的數學進階思維能力。

一、幾何直觀助力抽象性知識的教學

數學教材中的抽象性知識常以語言文字的形式進行描述，通常表現(xiàn)為語言簡潔、意蘊豐富。學生只有理解、掌握數學抽象性知識，才能發(fā)揮分析、說理的能力，發(fā)展邏輯思維。但是，小學生的認知規(guī)律、心理特征和思維特點還不足以對抽象性知識有直觀、清晰的認識，尤其是中、低段學生以形象思維為主，他們的閱歷尚淺，生活經驗不足，力透紙背的能力有限，在閱讀教材中的抽象性知識時，把握不了關鍵、理解不了本質。教師必須為他們提供理解抽象概念的“腳手架”，在課堂教學中可借助多種手段幫助學生直觀理解數學抽象性知識，達到事半功倍的教學效果。而幾何直觀素養(yǎng)的培育和滲透，可以讓知識的呈現(xiàn)更直觀、形象。

例如，教師在教授人教版四下“三角形的內角和”這一節(jié)課時，針對“三角形的三個內角和等于180°”這一定理，如果學生單單從教材中的文字描述是難以深度理解的。因此，在課堂教學中，教師應引導學生思考如何驗證三角形的三個內角和為180°。學生經過溝通、交流，有的在紙張上剪出一個三角形，用量角器分別測量三個內角的度數，并把這三個角相加，最終得出這個三角形的內角和為180°；還有的把三角形中的三個內角剪下來，拼在一起，得到一個平角，進而驗證三角形的內角和為180°。在該定理的驗證過程中，類似量一量、剪一剪和拼一拼等操作手段滲透了幾何直觀思維，促使學生在動手操作、思考內化中驗證“三角形內角和為180°”。通過直觀的操作活動所帶來的數學經驗，比空洞的文字描述更讓人印象深刻，并幫助學生經歷抽象性知識的驗證過程，把握數學知識的本質內涵。

二、幾何直觀建立直觀模型

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出要培養(yǎng)學生“會用數學的思維思考現(xiàn)實世界”這一基本核心素養(yǎng)。數學問題往往是從現(xiàn)實世界中抽象而來，分析和解決問題的能力對于小學階段的學生來說十分重要。古人云：“授人以魚不如授人以漁。”由此可知，教師教授學生掌握解決問題的方法遠比掌握知識重要得多。但是，學生收獲解決問題的方法不是單純靠教師的講解、傳授就能輕易獲得的，它需要學生經歷對解決問題方法的直觀感悟過程。數形結合是一種解決問題的重要數學思想。教師可以借助圖形幫助學生分析和解決問題，引導學生采用數形結合的數學思想構建問題模型，掌握數學學習的有效途徑，從而幫助學生更好地解決數學問題，達到“會一道題等于會一類題”的效果。

例如，在人教版五上“數學廣角——植樹問題”的教學中，教師出示問題情境：“在100米的道路一邊植樹，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵？”對于學生來說，單純地通過文字理解其中植樹棵數與間隔數之間的數量關系并不容易，而且各種模型之間易產生混淆。為了探究方便，教師先把題中的100米換成20米，然后引導學生把“道路”抽象成一條線段，“樹”抽象成線段上的點，引導學生在稿紙上借助點與線段的組合，把植樹問題的三種情況逐一直觀呈現(xiàn)，促使學生感悟植樹問題中三種的數量關系。最后，教師引導學生建構數學模型，并尋找生活中的“植樹問題”，把鋸木頭、時鐘打點和爬樓梯等數學問題劃歸到“植樹問題”中去，提升學生解決問題的能力。

三、幾何直觀助力數學表達

動手操作、觀察發(fā)現(xiàn)、概括提升是培養(yǎng)學生數學思維能力的“三部曲”。動手操作能化無形為有形；觀察發(fā)現(xiàn)能培養(yǎng)學生重證據、講道理的科學態(tài)度；概括提升能促進學生思維和數學語言表達能力的發(fā)展。因此，在課堂教學中，教師要逐步引導學生操作、觀察、比較、歸納，并把操作的過程用直觀的方式呈現(xiàn)出來，把發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用數學語言表達出來，有利于學生深刻領悟規(guī)律的內涵，提高學生的概括能力，使學生的學習更為有效、深入。

數學從來都不是一門死記硬背的學科，自主探究是學生學好數學必不可少的方法。在滲透幾何直觀這一核心素養(yǎng)時，小學數學教師可以放手讓學生自主探究，進而更好地用數學語言表達自己的思考和方法。例如，在教學人教版三下“長方形的面積計算”相關內容時，教師出示題目：請同學們利用12個相同的小正方形去擺大的長方形。并讓學生把擺出的長方形畫在方格紙上，用圖形表征的方式把學生的思考表達出來。學生在稿紙中呈現(xiàn)的思考有以下三種（見圖1～圖3）。接著，教師繼續(xù)提出問題：“如果每個小正方形的邊長為1厘米，那么每種長方形的面積、長、寬分別是多少？請仔細觀察圖形，思考長、寬與面積之間存在什么關系。”通過觀察、測量、交流討論，學生得出答案：“得出的三種長方形的面積都是12平方厘米。圖1的長和寬分別為12厘米、1厘米，圖2的長和寬分別為6厘米、2厘米，圖3的長和寬分別為4厘米、3厘米。通過觀察、計算發(fā)現(xiàn)，長方形的面積大小就是長與寬的積。”接著，教師讓學生驗證是不是所有長方形都存在這樣的規(guī)律。通過自主操作，學生不僅概括出長方形的面積計算方法，而且積累了活動經驗，提升了推理意識，發(fā)展了幾何直觀，從而把學生的數學思考引向深處。

總而言之，教師要不斷創(chuàng)新教學方法，不斷改進數學教學模式，使學生通過數學學習獲得適應未來發(fā)展需要的綜合能力。同時，教師還應緊扣教材特點，滲透核心素養(yǎng)的培育，激發(fā)學生自主建構知識體系。在具體的策略實施中，教師可借助滲透幾何直觀的數學課堂，促使學生通過自主探索的體驗和合作交流的感悟，促進學生數學思維能力的提升。同時，教師通過挖掘創(chuàng)新、豐富、有趣的教學資源，實施有效的教學方法、教學模式，讓學生全身心積極參與，獲得發(fā)展有意義的學習過程，體驗成功，把幾何直觀作為一種關鍵要素融入學生的學習中，提升數學思維的進階頓悟。

（作者單位：福建省閩江師專附屬永泰小學

本專輯責任編輯：宋曉穎）

幾何直觀素養(yǎng)的形成能夠幫助學生把握數學問題的本質，明晰思維的路徑，提升數學思維能力。教師在教學中應注重幾何直觀思維的滲透，培養(yǎng)學生數學思維能力，提升學生解決問題的能力。在此過程中，可引導學生根據問題描述畫出相應的圖形，分析圖形的性質特征，建立數與形之間的聯(lián)系，構建數學問題的直觀模型。

在當下的數學課堂教學中，部分教師缺少對幾何直觀內涵的理解，錯誤地認為在教學中運用直觀模型就是培養(yǎng)學生的幾何直觀，只重視直觀，忽視引導學生利用圖形對數學知識的本質進行歸納、分析，致使學生的幾何直觀素養(yǎng)得不到提升。筆者認為滲透幾何直觀的教學是依托于圖表或圖形，引發(fā)學生的數學思考，引導學生探究知識的本質，培養(yǎng)分析、解決問題的能力，促進學生思維的發(fā)展。借助幾何直觀解決問題、學習數學知識能引導學生主動思考、積極探究，引導學生建立一種深入、全面的數學進階思維能力。

一、幾何直觀助力抽象性知識的教學

數學教材中的抽象性知識常以語言文字的形式進行描述，通常表現(xiàn)為語言簡潔、意蘊豐富。學生只有理解、掌握數學抽象性知識，才能發(fā)揮分析、說理的能力，發(fā)展邏輯思維。但是，小學生的認知規(guī)律、心理特征和思維特點還不足以對抽象性知識有直觀、清晰的認識，尤其是中、低段學生以形象思維為主，他們的閱歷尚淺，生活經驗不足，力透紙背的能力有限，在閱讀教材中的抽象性知識時，把握不了關鍵、理解不了本質。教師必須為他們提供理解抽象概念的“腳手架”，在課堂教學中可借助多種手段幫助學生直觀理解數學抽象性知識，達到事半功倍的教學效果。而幾何直觀素養(yǎng)的培育和滲透，可以讓知識的呈現(xiàn)更直觀、形象。

例如，教師在教授人教版四下“三角形的內角和”這一節(jié)課時，針對“三角形的三個內角和等于180°”這一定理，如果學生單單從教材中的文字描述是難以深度理解的。因此，在課堂教學中，教師應引導學生思考如何驗證三角形的三個內角和為180°。學生經過溝通、交流，有的在紙張上剪出一個三角形，用量角器分別測量三個內角的度數，并把這三個角相加，最終得出這個三角形的內角和為180°；還有的把三角形中的三個內角剪下來，拼在一起，得到一個平角，進而驗證三角形的內角和為180°。在該定理的驗證過程中，類似量一量、剪一剪和拼一拼等操作手段滲透了幾何直觀思維，促使學生在動手操作、思考內化中驗證“三角形內角和為180°”。通過直觀的操作活動所帶來的數學經驗，比空洞的文字描述更讓人印象深刻，并幫助學生經歷抽象性知識的驗證過程，把握數學知識的本質內涵。

二、幾何直觀建立直觀模型

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出要培養(yǎng)學生“會用數學的思維思考現(xiàn)實世界”這一基本核心素養(yǎng)。數學問題往往是從現(xiàn)實世界中抽象而來，分析和解決問題的能力對于小學階段的學生來說十分重要。古人云：“授人以魚不如授人以漁。”由此可知，教師教授學生掌握解決問題的方法遠比掌握知識重要得多。但是，學生收獲解決問題的方法不是單純靠教師的講解、傳授就能輕易獲得的，它需要學生經歷對解決問題方法的直觀感悟過程。數形結合是一種解決問題的重要數學思想。教師可以借助圖形幫助學生分析和解決問題，引導學生采用數形結合的數學思想構建問題模型，掌握數學學習的有效途徑，從而幫助學生更好地解決數學問題，達到“會一道題等于會一類題”的效果。

例如，在人教版五上“數學廣角——植樹問題”的教學中，教師出示問題情境：“在100米的道路一邊植樹，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵？”對于學生來說，單純地通過文字理解其中植樹棵數與間隔數之間的數量關系并不容易，而且各種模型之間易產生混淆。為了探究方便，教師先把題中的100米換成20米，然后引導學生把“道路”抽象成一條線段，“樹”抽象成線段上的點，引導學生在稿紙上借助點與線段的組合，把植樹問題的三種情況逐一直觀呈現(xiàn)，促使學生感悟植樹問題中三種的數量關系。最后，教師引導學生建構數學模型，并尋找生活中的“植樹問題”，把鋸木頭、時鐘打點和爬樓梯等數學問題劃歸到“植樹問題”中去，提升學生解決問題的能力。

三、幾何直觀助力數學表達

動手操作、觀察發(fā)現(xiàn)、概括提升是培養(yǎng)學生數學思維能力的“三部曲”。動手操作能化無形為有形；觀察發(fā)現(xiàn)能培養(yǎng)學生重證據、講道理的科學態(tài)度；概括提升能促進學生思維和數學語言表達能力的發(fā)展。因此，在課堂教學中，教師要逐步引導學生操作、觀察、比較、歸納，并把操作的過程用直觀的方式呈現(xiàn)出來，把發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用數學語言表達出來，有利于學生深刻領悟規(guī)律的內涵，提高學生的概括能力，使學生的學習更為有效、深入。

數學從來都不是一門死記硬背的學科，自主探究是學生學好數學必不可少的方法。在滲透幾何直觀這一核心素養(yǎng)時，小學數學教師可以放手讓學生自主探究，進而更好地用數學語言表達自己的思考和方法。例如，在教學人教版三下“長方形的面積計算”相關內容時，教師出示題目：請同學們利用12個相同的小正方形去擺大的長方形。并讓學生把擺出的長方形畫在方格紙上，用圖形表征的方式把學生的思考表達出來。學生在稿紙中呈現(xiàn)的思考有以下三種（見圖1～圖3）。接著，教師繼續(xù)提出問題：“如果每個小正方形的邊長為1厘米，那么每種長方形的面積、長、寬分別是多少？請仔細觀察圖形，思考長、寬與面積之間存在什么關系。”通過觀察、測量、交流討論，學生得出答案：“得出的三種長方形的面積都是12平方厘米。圖1的長和寬分別為12厘米、1厘米，圖2的長和寬分別為6厘米、2厘米，圖3的長和寬分別為4厘米、3厘米。通過觀察、計算發(fā)現(xiàn)，長方形的面積大小就是長與寬的積。”接著，教師讓學生驗證是不是所有長方形都存在這樣的規(guī)律。通過自主操作，學生不僅概括出長方形的面積計算方法，而且積累了活動經驗，提升了推理意識，發(fā)展了幾何直觀，從而把學生的數學思考引向深處。

總而言之，教師要不斷創(chuàng)新教學方法，不斷改進數學教學模式，使學生通過數學學習獲得適應未來發(fā)展需要的綜合能力。同時，教師還應緊扣教材特點，滲透核心素養(yǎng)的培育，激發(fā)學生自主建構知識體系。在具體的策略實施中，教師可借助滲透幾何直觀的數學課堂，促使學生通過自主探索的體驗和合作交流的感悟，促進學生數學思維能力的提升。同時，教師通過挖掘創(chuàng)新、豐富、有趣的教學資源，實施有效的教學方法、教學模式，讓學生全身心積極參與，獲得發(fā)展有意義的學習過程，體驗成功，把幾何直觀作為一種關鍵要素融入學生的學習中，提升數學思維的進階頓悟。

（作者單位：福建省閩江師專附屬永泰小學

本專輯責任編輯：宋曉穎）

參考文獻

［1］王海靜.借助幾何直觀，優(yōu)化計算教學［J］.江西教育，2024（10）：64-67.

［2］金雪強.論數形結合思想在“雙減”之下數學教學中的應用［J］.小學教學研究，2023（05）：57-58，61.

［3］呂夢嬋.幾何直觀，數學思維的“助推劑”［J］.文理導航（下旬），2022（07）：31-33.

［4］湯琴.基于“幾何直觀”的小學數學游戲教學設計研究［D］.江蘇大學，2020.

編后記

在新課標背景下，數學課堂教學應注重構建學生的數學核心素養(yǎng)，促使他們實現(xiàn)素養(yǎng)的自主內化。數學課程的核心素養(yǎng)主要包括“三會”，而“會用數學的眼光觀察現(xiàn)實世界”中的“數學眼光”主要表現(xiàn)為量感、幾何直觀、空間觀念等方面，本專輯選取與量感和幾何直觀相關的兩篇文章，旨在助力一線教師探索與核心素養(yǎng)有關的教學策略。