基于幾何直觀和空間觀念滲透數(shù)形結(jié)合思想

王芳珍 高思遠(yuǎn)

【摘要】教學(xué)是一種科學(xué)和藝術(shù)相結(jié)合的過(guò)程，它強(qiáng)調(diào)了教師“教”的方法.作業(yè)是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要手段，它能夠滿足學(xué)生“學(xué)”的需求，促進(jìn)學(xué)習(xí)進(jìn)步.學(xué)生的發(fā)展離不開(kāi)高質(zhì)量的作業(yè)，因此，教師要設(shè)計(jì)高質(zhì)量的作業(yè)，讓學(xué)生在做作業(yè)的過(guò)程中鍛煉“思維”，發(fā)展“智慧”，讓學(xué)生能夠解決日常生活中的問(wèn)題，同時(shí)在做作業(yè)的過(guò)程中培養(yǎng)情感、態(tài)度和價(jià)值觀.基于此，文章以“勾股定理”為例進(jìn)行了單元作業(yè)設(shè)計(jì)，并進(jìn)行了反思，希望能為廣大教師設(shè)計(jì)單元作業(yè)提供參考.

【關(guān)鍵詞】單元作業(yè)；幾何直觀；空間觀念；數(shù)形結(jié)合

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的發(fā)布，指出教師需要有針對(duì)學(xué)生特點(diǎn)自主設(shè)計(jì)和改編作業(yè)的能力，而不是簡(jiǎn)單使用“大一統(tǒng)”的作業(yè).經(jīng)過(guò)系統(tǒng)評(píng)估與檢驗(yàn)的作業(yè)不僅能夠有效提高教學(xué)效果，還能夠?yàn)閷W(xué)生的全面成長(zhǎng)打下良好的基礎(chǔ).那教師應(yīng)該怎樣設(shè)計(jì)高質(zhì)量的單元作業(yè)呢？下面筆者以“勾股定理”為例，談?wù)勛鳂I(yè)設(shè)計(jì)的思路及反思.

一、單元作業(yè)設(shè)計(jì)

（一）作業(yè)主題及其解析

數(shù)學(xué)是一門(mén)深入探索數(shù)量關(guān)系和空間形式的學(xué)科，因而研究總是圍繞著數(shù)與形進(jìn)行的.“數(shù)缺形時(shí)不直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，這是數(shù)形結(jié)合的形象表述.通過(guò)幾何的直觀性來(lái)分析問(wèn)題，利用空間觀念來(lái)理解實(shí)際情況，可以使復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念變得更加清晰、生動(dòng)，從而幫助我們更好地探索解決問(wèn)題的方法，并預(yù)測(cè)結(jié)果.

本單元作業(yè)設(shè)計(jì)以人教版教材八年級(jí)下冊(cè)十七章“勾股定理”的內(nèi)容為載體，先引導(dǎo)學(xué)生借助幾何直觀看圖猜想，再利用條件探求解題的方向，幫助學(xué)生鞏固單元教學(xué)中借助幾何直觀和空間觀念解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)與解決問(wèn)題的能力，同時(shí)滲透數(shù)學(xué)文化，培養(yǎng)其民族自豪感.

（二）單元學(xué)習(xí)內(nèi)容及其解析

1.單元學(xué)習(xí)內(nèi)容

本單元的內(nèi)容包含兩個(gè)方面：一是深入探討勾股定理，以觀察、計(jì)算、猜想、證明等步驟推導(dǎo)勾股定理；二是介紹勾股定理的逆定理和實(shí)際應(yīng)用，通過(guò)猜想、證明得到勾股定理的逆定理，并簡(jiǎn)單運(yùn)用此定理.

2.地位和作用

勾股定理是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)里程碑，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，為數(shù)學(xué)的發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，并且在平面幾何、三角學(xué)、解析幾何學(xué)、微積分學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域都發(fā)揮著重要的作用.它構(gòu)建起一座橋梁，讓數(shù)學(xué)家們可以深入探索數(shù)學(xué)的真諦，并以此為基礎(chǔ)找到更有效的解決問(wèn)題的方案.這種定律已經(jīng)成為數(shù)學(xué)史上的經(jīng)典定律，是當(dāng)今世界最具影響力的數(shù)學(xué)定理之一，為我們搭建了一座宏偉的數(shù)學(xué)殿堂.

（三）學(xué)習(xí)現(xiàn)狀分析

1.認(rèn)知基礎(chǔ)

在學(xué)習(xí)本章以前，學(xué)生已經(jīng)深入探討了三角形的基本概念，包括三邊不等的定義、三角形的全等性及其判定方法、直角三角形內(nèi)角的關(guān)系、特殊直角三角形的特征等，同時(shí)，他們學(xué)習(xí)了如何利用圖形面積來(lái)推導(dǎo)數(shù)學(xué)公式，例如單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則等，這能使其更好地理解和解決勾股定理相關(guān)問(wèn)題.于是，教師可讓學(xué)生在原有的認(rèn)知水平基礎(chǔ)上探尋勾股定理的相關(guān)知識(shí)，讓學(xué)生的知識(shí)形成知識(shí)鏈，讓學(xué)生已具有的數(shù)學(xué)思維能力得以充分發(fā)揮和發(fā)展.

為了了解學(xué)生對(duì)之前知識(shí)的學(xué)習(xí)情況，教師可設(shè)計(jì)一份單元前測(cè)試題.單元前測(cè)試題的主要內(nèi)容是與本章學(xué)習(xí)內(nèi)容有聯(lián)系或能進(jìn)行技能疊加的相關(guān)知識(shí).根據(jù)前測(cè)的結(jié)果，教師可以檢測(cè)學(xué)生對(duì)之前知識(shí)的掌握情況，然后針對(duì)學(xué)生掌握情況設(shè)計(jì)適合學(xué)生的單元作業(yè)，更好地讓學(xué)生學(xué)好本章知識(shí)，達(dá)到預(yù)期的目標(biāo).

2.年齡特征和心理特征

八年級(jí)學(xué)生充滿好奇心，思維敏捷，渴望探索，樂(lè)于實(shí)踐.在學(xué)習(xí)中，他們能更加積極地參與到觀察、猜測(cè)、嘗試、質(zhì)疑、實(shí)驗(yàn)、歸納、總結(jié)等活動(dòng)中，并且獲得豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn).教師根據(jù)這些特征指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，可使他們更加樂(lè)于從日常生活中發(fā)掘數(shù)學(xué)的相關(guān)性，并且通過(guò)獨(dú)立思考分析、解決問(wèn)題，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)熱情，從而更好地掌握數(shù)學(xué)知識(shí).通過(guò)激勵(lì)和鼓勵(lì)，教師可以更好地開(kāi)發(fā)學(xué)生的潛力，培養(yǎng)他們的智力.

（四）作業(yè)目標(biāo)

目標(biāo)層次解析：

Ⅰ水平：能在簡(jiǎn)單圖形中識(shí)別直角三角形基本圖形結(jié)構(gòu)，發(fā)展學(xué)生對(duì)直角三角形基本圖形結(jié)構(gòu)的幾何直觀，同時(shí)掌握應(yīng)用勾股定理及其逆定理進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算的技能.

Ⅱ水平：能夠在簡(jiǎn)單圖形中構(gòu)造直角三角形的基本圖形結(jié)構(gòu)，即簡(jiǎn)單圖形中只出現(xiàn)基本直角三角形圖形結(jié)構(gòu)的一部分，學(xué)生依據(jù)較強(qiáng)的幾何直觀和空間觀念構(gòu)造直角三角形的圖形結(jié)構(gòu)，并能應(yīng)用勾股定理及其逆定理進(jìn)行簡(jiǎn)單推理，為在復(fù)雜圖形中識(shí)別和構(gòu)造直角三角形圖形結(jié)構(gòu)奠定基礎(chǔ).

Ⅲ水平：能在復(fù)雜圖形中識(shí)別直角三角形基本圖形結(jié)構(gòu)，掌握以等腰三角形、平面直角坐標(biāo)系等知識(shí)為基礎(chǔ)的技能疊加，能依據(jù)較強(qiáng)的直觀想象在復(fù)雜圖形中分離出基本圖形，也為綜合應(yīng)用已學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題奠定基礎(chǔ).

Ⅳ水平：能在復(fù)雜圖形中構(gòu)造直角三角形基本圖形結(jié)構(gòu)，即復(fù)雜圖形中只出現(xiàn)基本圖形結(jié)構(gòu)的一部分，學(xué)生依據(jù)較強(qiáng)的幾何直觀和空間觀念構(gòu)造直角三角形，猜想與直角三角形相關(guān)的結(jié)論，并綜合應(yīng)用圖形的性質(zhì)解決問(wèn)題.

（五）作業(yè)設(shè)計(jì)的層次安排

單元層次：勾股定理→勾股定理的逆定理→單元小結(jié).

課時(shí)層次：①勾股定理→勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用→運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題.

②勾股定理的逆定理→勾股定理逆定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用→勾股定理及其逆定理的綜合應(yīng)用.

作業(yè)除了滿足單元本身的要求，同時(shí)要滿足學(xué)生學(xué)業(yè)水平層次性的需求.

二、單元作業(yè)設(shè)計(jì)反思

（一）作業(yè)設(shè)計(jì)原則

1.整體性

本單元作業(yè)設(shè)計(jì)主要以“勾股定理”的內(nèi)容為載體，整章知識(shí)結(jié)構(gòu)是：探索發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)，提出猜想，獲得定理的證明，最后是“勾股定理”的實(shí)際應(yīng)用.作業(yè)應(yīng)將直角三角形與平面直角坐標(biāo)系、等腰三角形等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)整體性.基于整體性，教師可設(shè)計(jì)跨課時(shí)作業(yè)，即跨越第1，4，6課時(shí)，以加強(qiáng)知識(shí)前后聯(lián)系，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)化.

2.層次性

本單元作業(yè)在目標(biāo)層次上分為四個(gè)水平層次：在簡(jiǎn)單圖形中能識(shí)別直角三角形基本圖形結(jié)構(gòu)，在簡(jiǎn)單圖形中能夠構(gòu)造直角三角形的基本圖形結(jié)構(gòu)，在復(fù)雜圖形中能識(shí)別直角三角形基本圖形結(jié)構(gòu)，在復(fù)雜圖形中能構(gòu)造直角三角形基本圖形結(jié)構(gòu).

3.豐富性

本單元作業(yè)的豐富性主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面.①作業(yè)情境豐富.勾股定理在實(shí)際生活中有廣泛的應(yīng)用，在本單元作業(yè)中可設(shè)計(jì)航海、木板過(guò)門(mén)框、建育苗棚、快速道建設(shè)等問(wèn)題，以發(fā)展學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.②作業(yè)類型豐富.本單元作業(yè)設(shè)計(jì)可以基礎(chǔ)性作業(yè)為主，適當(dāng)設(shè)置綜合運(yùn)用性作業(yè)，增設(shè)探究拓展性作業(yè)（跨課時(shí)作業(yè)）和實(shí)踐活動(dòng)性作業(yè)，讓學(xué)生在各方面都能得以發(fā)展.

4.創(chuàng)新性

本單元作業(yè)設(shè)計(jì)以能力素養(yǎng)的發(fā)展水平為主線、以直角三角形的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能為暗線進(jìn)行設(shè)計(jì)，作業(yè)中設(shè)計(jì)了原創(chuàng)題，以新情境考查、診斷學(xué)生能力素養(yǎng)的發(fā)展，還設(shè)計(jì)了跨課時(shí)作業(yè)和實(shí)踐活動(dòng)性作業(yè)，以創(chuàng)新發(fā)展學(xué)生的能力.

5.適切性

本單元作業(yè)的適切性主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面.①符合課標(biāo)要求，重視教材中練習(xí)題的使用.本單元作業(yè)應(yīng)控制題目難度，不選擇超綱或與還沒(méi)學(xué)習(xí)的內(nèi)容的技能疊加等繁難題目.②控制作業(yè)時(shí)長(zhǎng).課時(shí)作業(yè)應(yīng)按選擇題、填空題、解答題“3+3+4”的量進(jìn)行設(shè)計(jì)，學(xué)生完成時(shí)長(zhǎng)為35分鐘左右；單元小結(jié)作業(yè)也按選擇題、填空題、解答題“3+3+4”的量進(jìn)行設(shè)計(jì)，學(xué)生完成時(shí)長(zhǎng)為40分鐘左右.每份作業(yè)還要分為基礎(chǔ)鞏固和拓展提升兩部分，以滿足不同層次學(xué)生的需求.

（二）課時(shí)作業(yè)規(guī)劃表

教師需要有大單元作業(yè)設(shè)計(jì)的基本理念、基本策略與方法，并能夠像學(xué)科專家那樣從多角度綜合分析作業(yè)的每一部分，以確保作業(yè)的完整性和結(jié)構(gòu)性.教師應(yīng)思考課時(shí)作業(yè)的題型、類型、知識(shí)點(diǎn)、技能、能力、思想方法、目標(biāo)層次、對(duì)象、預(yù)估難度等方面，并以表格的形式展現(xiàn)，讓作業(yè)設(shè)計(jì)的策略可視化，讓作業(yè)設(shè)計(jì)不再是模模糊糊一大片，而是變成具體可操作的要求與整體理念的完美結(jié)合.

下面給出“勾股定理”課時(shí)1的作業(yè)規(guī)劃表.

（三）單元作業(yè)屬性表

教師在作業(yè)設(shè)計(jì)過(guò)程中需要展示設(shè)計(jì)的思維過(guò)程，對(duì)作業(yè)的各個(gè)關(guān)鍵要素的屬性有清晰的判斷，如設(shè)計(jì)過(guò)程中需要思考哪些關(guān)鍵因素，對(duì)這些關(guān)鍵因素應(yīng)基于怎樣的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行設(shè)計(jì)和思考，并準(zhǔn)確判斷其屬性，等等，針對(duì)這一系列的思維過(guò)程，教師可借助列表形式，清晰思考作業(yè)設(shè)計(jì)過(guò)程中的關(guān)鍵問(wèn)題.下面給出“勾股定理”單元作業(yè)屬性統(tǒng)計(jì)表.

結(jié) 語(yǔ)

如果說(shuō)教學(xué)從某種角度上著重體現(xiàn)了教師“教”的科學(xué)與藝術(shù)，那么作業(yè)則充分體現(xiàn)了學(xué)生“學(xué)”的需求，故教師要設(shè)計(jì)高質(zhì)量的作業(yè).筆者認(rèn)為，首先，教師需要對(duì)單元進(jìn)行整體規(guī)劃，確保作業(yè)設(shè)計(jì)的整體結(jié)構(gòu)性，明確單元的基本屬性；其次，單元目標(biāo)應(yīng)根據(jù)單元規(guī)劃進(jìn)行整體設(shè)計(jì)，再進(jìn)行課時(shí)目標(biāo)的設(shè)計(jì)；最后，依據(jù)目標(biāo)設(shè)計(jì)作業(yè).這樣，學(xué)生可在做作業(yè)的過(guò)程中鍛煉思維，發(fā)展智慧，同時(shí)在做作業(yè)的過(guò)程中培養(yǎng)情感.

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