立足探究教學，滲透核心素養

徐秋華

摘要：根據《普通高中數學課程標準（2017年版）》可知，數學核心素養的落地離不開教學實踐.數學核心素養是一種綜合性的能力和知識結構，涉及的知識面很廣.九尺高臺起于壘土，學生數學素養的提升來自日積月累的沉淀.高中數學課堂應以學生自主探究為主線，滲透數學核心素養.

關鍵詞：雙曲線;核心素養;探究教學

蔡金法等［1］在《做探究型教師》一書的緒論中明確提出：教師作為研究者，首先要思考的根本問題是“我們究竟要培養什么樣的人”.在傳統課堂教學中，教師“滿堂灌”現象極為普遍，多數學生缺乏獨立思考、自我探究以及勇于創新的能力.在數學教學中，開啟探究式課堂，培養學生思維的獨立性、深刻性與靈活性是新一代課堂的教學目標［2］.

探究型課堂的設計理念是以問題鏈為驅動力，重視知識的建構過程.課堂采用教師講授與學生探究相結合的教學方式，讓學生經歷質疑、探究、釋疑的學習過程；體驗數學活動中的發現與創造，經歷從感性到理性的認知過程.正所謂“生”動的課堂才會更生動.下面以筆者執教的公開課“雙曲線及其標準方程”（人教A版選擇性必修第一冊）為例，談一下自己的做法和幾點不成熟的想法，以就正于方家.

1 創設情境，實驗感知，獲得概念

情境一：播放七彩燈光下的廣州電視塔、工作中的冷卻塔、艾洛依休斯教堂等動態圖片.引導學生欣賞圖片的同時，提出問題：這些建筑中蘊藏著什么幾何圖形？

學生：雙曲線.

數學源于生活，用于生活.讓學生直觀感受數學美，激發學習興趣.

情境二：（課前折紙小實驗）按要求折疊紙張，在紙上先確定兩個定點F1，F2，以F1為圓心，小于F1F2的長為半徑作一個圓，在圓上任取一點P1，通過折疊，使P1與F2重合，并畫出折痕l1（如圖1），然后作出半徑F1P1所在直線并沿著該直線折疊，該折痕與l1相交于點M1；隨后依次確定點M2，M3，M4，……，由此發現折痕與l1的交點逐步形成了兩條對稱的曲線（如圖2）.

通過小組探究、討論，類比橢圓的定義，得出雙曲線的概念：把平面內與兩定點F1，F2的距離的差的絕對值等于非零常數（非零常數小于|F1F2|）的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫做雙曲線的焦距.（動畫演示曲線形成過程.）

設計意圖：通過兩種不同的方式引入課題.首先從生活情境引入，美麗的建筑讓學生感知數學美；其次從數學問題引入，通過折紙活動，確定雙曲線的具體形態及其基本構成條件.折紙使課堂氣氛變得活躍，激發了學生探究新知的積極性.

2 深度探究，體驗概念生成過程，培養抽象概括能力

師：下面我們對雙曲線的定義進行辨析.

追問1：類比橢圓，雙曲線的定義中有哪些關鍵詞？

生：關鍵詞有“絕對值”“非零”“小于|F1F2|”.

師：很好！

追問2：如果分別去掉或改變這幾個關鍵詞，曲線會發生怎樣的變化？

情形一：如果去掉“絕對值”，曲線會發生怎樣的變化？

師生共同研究，根據剛才的動畫演示發現，如果去掉“絕對值”，軌跡應該是雙曲線的一支.那么，到底是哪一支呢？

學生歸納并展示所得結論：如果|MF1|-|MF2|是一個負常數，那么點M的軌跡是雙曲線的左支；如果|MF1|-|MF2|是一個正常數，那么點M的軌跡是雙曲線的右支.

情形二：如果將“小于”改為“等于”呢？

生：若點M在直線F1F2的外側，則點M，F1構成三角形.根據三角形的性質，兩邊之差小于第三邊，即||MF1|-|MF2||

師：非常好！分析問題要從多角度入手，才能看透本質.

情形三：如果將“小于”改為“大于”呢？

生：（激烈討論，班級氣氛活躍）若點M在直線F1F2的外側，則點M，F1與F2構成三角形，根據三角形的性質，兩邊之差小于第三邊，即||MF1|-|MF2||<|F1F2|，不成立；若點M在線段F1F2的延長線或反向延長線上，則||MF1|-|MF2||=|F1F2|，也不成立；若點M在線段F1F2上，||MF1|-|MF2||不是定值，不成立.所以軌跡不存在. （全班鼓掌）

師：很棒的總結.請同學們繼續思考.

情形四：如果去掉“非零”兩個字，那么曲線會發生怎樣的變化呢？

生：當|MF1|-|MF2|=0時，根據中垂線的性質可知，中垂線上的點到線段兩個端點的距離相等，此時軌跡是線段F1F2的垂直平分線.

師：通過對上述四種情形的深入探究，我們對雙曲線的定義進行了辨析，可知雙曲線定義中那些關鍵詞的重要性，大家一定要細細體會.

設計意圖：通過小組探究學習，深挖雙曲線概念形成的基本構成條件，有助于培養學生的數學抽象與數學建模素養，細致嚴密的分析過程有助于提升學生邏輯推理素養.

3 類比探究，構建數學模型，培養邏輯推理及數學運算能力

師：能否對照橢圓標準方程的推導步驟及方法，推導雙曲線的標準方程？

生：我們可以按照建立平面直角坐標系—設出各點的坐標—列出方程式—化簡等式這四個步驟展開.

師：如何建立恰當的平面直角坐標系呢？（學生借助學習橢圓的經驗展開討論.）

類比橢圓，以直線F1F2為x軸，以F1F2的中點O為坐標原點建立平面直角坐標系.（如圖3）

師：如何寫出曲線上滿足條件的點M的集合？

師：要將雙曲線的定義代數化，不妨設這個常數為2a，利用定義，曲線上的點M滿足的集合為{M|||MF1|-|MF2||=2a，0<2a<|F1F2|}，那么集合中的等式如何用坐標來表示呢？

生：類比橢圓，可以設點M（x，y），雙曲線焦點為F1（-c，0），F2（c，0）.由||MF1|-|MF2||=2a，得（x+c）2+y2-（x-c）2+y2=±2a.這個方程比較復雜，可以類比橢圓標準方程的化簡過程.第一步，將一個根號移到等式的右邊，再兩邊平方，得

（（x+c）2+y2）2=（±2a+（x-c）2+y2）2.

師：很好，處理問題自信又果斷！兩邊平方是處理根號問題的常用辦法.解決這類問題不能有畏難心理，需要膽大心細.下面請同學們在本子上寫出自己的化簡過程.（教師巡視并適當點撥.）

生：第二步，將兩邊的式子展開化簡，等號右邊保留含根號的項，其余移項至等號左邊，整理得到cx-a2=±a（x-c）2+y2；第三步，兩邊繼續平方，徹底消掉根號.下面的化簡有一個關鍵步驟，可以類比橢圓，根據變量x2，y2，整理可得方程（c2-a2）x2-a2y2=a2（c2-a2）.

師：思路清晰，運算準確，此處應該有掌聲.大家發現這個式子是沒有辦法繼續化簡的，類比橢圓標準方程的推導，如何化簡使得方程更加美觀？

生：雙曲線定義中，2c>2a，令c2-a2=b2，代入化簡，得x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）.

師：所以曲線上的動點M的坐標（x，y）是滿足這個方程的解；反過來，以這個方程的解為坐標的點到點F1，F2距離的差的絕對值等于2a，也就是說，這個以方程的解為坐標的點是雙曲線上的點.我們稱x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）為雙曲線的標準方程.如果雙曲線的焦點在y軸上，它的標準方程是什么？（如圖4）

生：參考焦點在y軸上的橢圓標準方程，發現x與y的位置進行了互換，所以焦點在y軸上的的雙曲線標準方程是y2a2-x2b2=1（a>0，b>0）.

設計意圖：學生通過類比橢圓標準方程的推導，克服運算過程中的畏難心理，探究并完成了雙曲線標準方程的推導，達成了知識的遷移，通過運算的相似性，化被動為主動，提高對復雜數據處理的能力，提升運算素養.

4 知識應用，嘗試構建數學模型，培養創新能力

例1 已知雙曲線的兩個焦點分別為F1（-10，0），F2（10，0），雙曲線上一點P與F1，F2兩點的距離之差的絕對值等于16，求雙曲線的標準方程.

生：找出雙曲線標準方程中的三個基本量，即2c=20，2a=16，計算出b=6，代入相應方程即可.（教師詳細板書.）

例2 已知A，B兩地相距800 m，在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2 s，聲速為340 m/s，求炮彈爆炸點的軌跡方程.

生：先判斷軌跡的形狀.由A，B兩地聽到爆炸聲的時間差及聲速，得出A，B兩地與爆炸點的距離差是定值.所以爆炸點在以A，B為焦點的雙曲線上，且爆炸點離A處比離B處遠，所以爆炸點在靠近B處的雙曲線的一支上.（教師詳細板書.）

設計意圖：例題來自教材，具有鮮明的基礎性、典型性和導向性，深入探究課本中的題目，在夯實基礎的同時，充分挖掘題目所蘊含的數學思想與方法，提升數學抽象思維，滲透數學建模能力，從而培養學生的創新能力.

反思探索是教學的生命線.本堂課通過設計折紙游戲環節，引入探究性問題，明確探究教學的任務要求.圍繞“雙曲線軌跡的發現—雙曲線定義的深度剖析—雙曲線標準方程的建立—實際數學問題的應用”展開，通過具體的折紙實驗，直觀感知雙曲線的軌跡；通過對問題的分析，抽象出雙曲線的定義，體現具體到抽象的數學思想.在整個教學中，筆者設計的問題鏈一步步地引導學生展開對雙曲線定義和方程的探究，在此過程中，筆者不做過多干預，只適時點撥，鋪設探究通道，引導學生朝著正確的方向思考.學生對新知的認識是一次從“惑”到“識”、從“無”到“有”的自然生長過程 ［3］.

“教是為了不教”.教學中要從大處著眼，小處著手，充分發揮學生的課堂主體地位，讓學生經歷探究過程，從而深化數學思想，積累基本方法和基本經驗.在課堂教學中，教師要不斷強化探究意識，讓學生能夠在潛移默化中建立數學眼光與抽象認知，提高數學素養.

參考文獻：

［1］蔡金法，聶必凱，許世紅.做探究型教師［M］.北京：北京師范大學出版社，2015：3.

［2］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）［S］.北京：人民教育出版社，2018.

［3］羅建宇.整體觀視角下高中數學教學的建構與思考——兼談“雙曲線的標準方程”的教學 ［J］.數學通報，2022（10）：20-24.