挖掘數學實驗價值 發展數學核心素養

張泉

摘?要：以數學實驗活動探究“反比例函數的圖像與性質（2）”的教學設計為例，揭示了數學實驗活動的教學價值：幫助學生直觀地理解基本知識和技能、幫助學生體悟知識蘊含的數學思想、幫助學生積累數學學習的經驗、幫助學生建立積極的學習情感、幫助師生形成正確教學觀念，并簡述了數學實驗對發展學生數學核心素養的重要意義.

關鍵詞：數學實驗;核心素養;反比例函數;數學教學

《全日制義務教育數學課程標準（2011版）》（下稱課標）指出：“數學是人類文化的重要組成部分，數學素養是現代社會每一個公民應該具備的基本素養. 作為促進學生全面發展教育的重要組成部分，數學教育既要使學生掌握現代生活和學習中所需要的數學知識與技能，更要發揮數學在培養人的思維能力和創新能力方面的不可替代的作用.”[1]可見，“數學素養”是每一個人生活必備的基本素養，也是每一個人成才成功的關鍵品質. 初中數學是一門基礎性課程，發展學生的“數學素養”是這門課程的核心任務，而開展數學實驗教學是發展數學素養的有效策略之一. 江蘇省無錫市惠山區數學教師基本功比賽以《反比例函數的圖像和性質（2）》的教學設計、課件制作與微課教學為主題，一位一等獎獲得者從數學實驗融入教學的角度設計了這節課，頗獲好評.

1 基于數學實驗的教學設計

1.1實驗鋪墊——明確實驗對象

（1）通過上一節課的學習，我們知道，反比例函數的圖像的形狀是__________.

（2）對于一次函數y=kx+b（k>0，b>0），請你說說它的圖像所在的位置和增減性？

（3）類比一次函數的性質，今天我們要研究反比例函數的性質，研究內容有哪些？

1.2實驗活動1——初探基本性質

打開幾何畫板5.0軟件：

①選擇“自定義工具”，插入“迷你坐標系”;

②點擊“數據”，新建可變參數k=-4，將它的參數屬性設置為在-15到15之間連續變化;

③點擊“繪圖”，繪制新函數，將它的屬性設置為-8.2到8.2之間連續變化;

④右鍵參數k，生成參數的動畫.

師：請一位同學來點擊開始按鈕，其他同學思考以下問題：

（1）隨著k的變化，圖像的形狀有變化嗎？位置有變化嗎？

（2）根據k的取值范圍的不同，函數的增減性如何？

（3）歸納反比例函數（k ≠ 0）的性質，并填表：

（4）你對數學實驗有何感受？

【設計意圖】這一環節的教學目標是認識反比例函數的性質，最近發展區是上一節課學習的畫反比例函數的圖像，因而設計了先畫圖、再歸納、后驗證的教學思路. 驗證環節如何能讓知識無懈可擊，讓學生確信無疑？——數學實驗是很好的方式！通過教師的引導和追問，讓學生經歷動手、動腦、交流、質疑、分析、解決這樣一個過程，思維從淺層逐漸走向深刻，并積累了數學學習的經驗，初次體驗全新學習方式的魅力.

活動二：已知反比例函數的圖像經過點A（2，-4）.請你求出k的值，并判斷點B（-2，4）、C（-3，5）在這個函數的圖像上嗎？

師：點A和點B在坐標系中有什么幾何特征？你能猜想反比例函數的圖像有什么幾何特征嗎？基于剛才的實驗經驗，如何用幾何畫板軟件驗證現在這個猜想呢？

1.3數學實驗2——再探對稱性質

①在迷你坐標系中，設置可變參數k，暫取k=-8，繪制反比例函數的圖像;

②在的圖像上取一動點P，度量點P的坐標，點擊“變換”，將O標記為中心，將點P繞點O旋轉180°后標記為點P’，度量P’的坐標，并計算點P’的橫、縱坐標的乘積;

③分別點擊點“P”和“編輯”，選擇“操作類按鈕-動畫”，生成點P的動畫;

④分別點擊點“P’”和“顯示”，選擇“追蹤繪制的點”，追蹤點P’的軌跡.

（1）點擊“動畫點”按鈕，你發現點P’的軌跡有什么特點？

（2）二者“重合”僅僅是視覺效果，還是二者必然在一起？為什么？

（3）通過上述實驗，我們發現的圖像是中心對稱的，如何驗證對于任意的非零k，的圖像都是中心對稱的？

【設計意圖】這一環節旨在探究反比例函數圖像的中心對稱性，由課本上的例題進行變式和追問，引導學生發現問題、提出問題、構思方法、解決問題. 設計這一個環節，是為了延續上一個環節，不僅是知識上的承接，更是為了加強積累“通過數學實驗探究解決數學問題”這一活動經驗，也為了繼續深入拓展做鋪墊.

活動三：回到剛在的圖像上，現在再來做一個實驗，大家看看還能得到什么結論.

1.4數學實驗3——深層性質拓展

①過點P作x軸和y軸的垂線，垂直分別為M、N，可以得到一個四邊形PMON，設置為黃色;

②度量PM、PN的長度，計算PM·PN的值;

③點擊“動畫點”按鈕.

（1）你發現了什么？

（2）你能說說這個結論成立的理由嗎？

（3）一般地，反比例函數（k ≠ 0）圖像上的任意一點P，過點P作兩條坐標軸的垂線段所圍成的矩形面積是多少呢？

師：通過做實驗，我們又發現了一個重要結論——矩形面積等于|k|，我們把這一結論叫做反比例函數的面積不變性.

【設計意圖】檢驗學生運用活動經驗開展探索研究的技能，拓展新知，讓優秀生“吃飽”，培養學生的應用意識，再次帶領學生感受數學實驗的價值.

1.5實驗小結

（1）經歷了本節課的學習，你對于數學實驗有何感受？

（2）你學到了反比例函數的哪些性質？你猜反比例函數的圖像還會有其他性質嗎？如何用數學實驗繼續開展研究？

【設計意圖】在小結環節，引導學生建構知識脈絡，并把自己內心對數學實驗的感受表達出來，利用同理心原理升華全體學生對于數學實驗的認同感，并鼓勵學生對于雙曲線的軸對稱性做自主研究，培養探究意識.

2 數學實驗的教學價值

數學實驗是通過動手動腦“做”數學的一種數學學習活動，是在教師引導下，學生運用有關工具，在數學思維活動的參與下進行的一種以人人參與的實際操作為特征的數學驗證或探究活動。數學實驗過程中，學生既需要“做”，又需要“看”，更需要“思”，還需要傾聽和表達，可以說，數學實驗是一項調動學生多感官參與的學習活動，許多神經學家的研究顯示，參與的感官越多，建立連接的神經越多，就意味著被保存下來的記憶更多. 數學實驗的教學價值具體表現為：

2.1數學實驗幫助學生直觀地理解數學知識與技能

數學實驗注重操作與實踐，變“聽數學”為“做數學”，變“看演示”為“動手做”，變“機械接受”為“主動探究”。數學實驗使得數學研究對象“可視化”，讓學生對抽象內容獲得直觀的理解，體驗發現樂趣，喚醒主體意識，建構知識結構. 例如實驗1，通過按鈕操作的設計，讓圖像的位置變化與反比例系數k的變化可視化，加深了學生對于“k的值決定圖像的位置”的認知，增強了直觀思維的連貫性和想象思維的合理性，讓學生更加確信自己的認知，這種效果是僅憑方格紙上畫圖或片段式觀察歸納所達不到的。

2.2數學實驗幫助學生體悟知識蘊含的數學思想

數學思想是數學的靈魂和精髓. 日本數學家、教育家米三國藏曾說：“作為知識的數學，出校門不到兩年可能就被遺忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數學精神、數學思想、研究方法和著眼點等，這些隨時隨地發生作用，使他們終身受益.”數學實驗，作為研究數學問題的一種工具，對滲透數學思想和方法起到了積極的作用. 設計中的三個實驗，無處不在滲透數學思想：每一條性質都經歷了特殊猜想—實驗驗證—一般推理的過程，體現了數學的歸納思想;每一次實驗，都經歷了觀察思考—歸納猜想—操作驗證—推理證明的基本步驟，體現了數學的模型思想;每一個動畫，都基于運動中的變或不變，體現了函數的對應思想;研究函數整體的性質，聚焦于圖像上一個動點的特征，這體現了數學的化歸思想，等等.

2.3數學實驗幫助學生積累數學學習的經驗

首先，在數學實驗活動中學生可以獲得來自感官、直覺的直接感受和參與體驗等經驗. 例如幾何畫板等動手操作類實驗活動，既可以獲得行為操作的數學活動經驗，也可以在活動中進行適當的交流、回味，從而加深對圖形特征的認識. 其次，在數學實驗活動中學生可以積累探究的經驗. 探究是對已有問題的解決而展開的數學活動，既有外顯的操作活動，也有思維層面的操作活動，數學實驗包含了這兩部分. 另外，在數學實驗活動中學生還可以積累數學思維的經驗. 數學思維活動，包括歸納、類比、推理、分析等活動，數學實驗特別強調操作之后的思維過程，這是得到有效實驗結論的前提.

2.4數學實驗幫助學生建立積極的學習情感

課標對于數學課程提出了總體目標，其中情感態度方面的闡述是：“學生積極參與數學活動，對數學有好奇心和求知欲;體驗獲得成功的樂趣，鍛煉克服困難的意志，建立自信心;體會數學的特點，了解數學的價值;養成認真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質疑等學習習慣、形成實事求是的科學態度.”在課例的小結環節，學生們紛紛發言：“一直以來我都覺得數學遠離生活比較抽象，今天我發現數學竟然能動手操作，數學實驗還是蠻有意思的.”“原來想不通的問題，做完實驗后，好像就想通了.”“數學實驗雖然不能完美解決問題，但是卻是一種有意思的學習方法，我學到了更多知識的同時，還與同學討論，上課還發言了.”同學們的發言，顯示了數學實驗的魅力和價值：數學實驗作為一種工具，讓數學知識更加直觀易懂;作為一種活動，適合全體學生參與并培養興趣;作為一座橋梁，溝通了師生之間、生生之間的關系，拉近了數學與學生的距離.

2.5數學實驗幫助師生形成正確的教學觀念

傳統的數學課堂強調老師的示范指導和學生的鞏固訓練，老師是知識的權威傳授者，學生是知識的被動接受者. 而以數學實驗為載體的數學教學，數學知識不再以現成結論呈現，而是讓學生從自己已有的“數學經驗”出發，通過動手、動腦去獲得新的數學經驗，逐步建構并完善、發展自己的數學認知結構. 數學實驗活動，不僅有學生的親身體驗，生生之間的交流合作，還有師生之間的交往互動，教師和學生在良好的關系與和諧的互動中共同獲得對數學育人更高地理解. 可以說，數學實驗是一種基于現代教學理念的教學方式，適合師生的終身發展.

3 數學實驗對發展數學核心素養的意義

重慶市教育科學研究院康世剛院長認為：“數學素養是指學生在已有數學經驗的基礎上，通過數學活動對數學的體驗、感悟和反思，并在真實情境中有意識地應用數學知識與技能理性地處理問題的行為特征.”數學實驗對于培養動手能力、積累活動經驗、增強數學體驗，有著先天的優越性，不僅如此，數學實驗還能反哺思維能力的不足，增強學生對數學知識的體悟. 更值得品位的是，設計中的每個實驗，表面上是為了探究知識驗證猜想，深層地是在學生心里播下一棵科學精神的種子，實驗結論得出后，教師繼續引導學生深究結論的嚴謹性、普適性與應用性，關注學生的推理能力和應用意識的發展，這正符合數學素養的內涵，可以說，數學實驗是發展學生數學素養的有效策略.

廣大數學教師應大力開展數學實驗活動，創新數學教學形式，為發展學生的數學素養不懈努力.

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012：2.

[2] 董林偉，朱建明.《初中數學實驗手冊》的研制與思考[J].數學通報，2014（10）：8.

[3] 董林偉.數學實驗：促進初中生數學學習的一種有效方式[J].中國數學教育，2015（5）：2.

[4] 康世剛，宋乃慶.論數學素養的內涵及特征[J].數學通報，2015（3）：11.