重視定理證明過程，培育數學推理思想

顧彩梅

【摘要】推理是數學的基本思維方式，推理能力的發展貫穿在整個數學的學習過程中.筆者圍繞判定定理“從哪里來”“是什么”“到哪里去”三方面內容，簡述在定理的證明過程中，如何培養學生的數學推理思想和提升學生的數學推理能力.

【關鍵詞】推理;幾何直觀;疊合法;證明

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：數學推理與數學證明有著緊密的聯系，它與證明共同構成了數學中最重要的基礎.義務教育階段的初中數學教學內容中，有著許多重要定理的介紹，教師可以以證明基本定理為抓手來逐步提升學生的推理能力.筆者以浙教版數學九年級上冊第四章第4節“兩個三角形相似的判定”（第1課時）為例，簡述在定理的證明過程中如何培養學生的數學推理思想.

1 課前思考

1.1 教學目標確定

掌握三角形相似判定的預備定理、判定定理的內容和證明方法.

借助幾何畫板構造平行四邊形和全等三角形解決問題，體會“疊合法”的重要作用.

體驗類比、轉化、從特殊到一般的數學推理思想，加強幾何直觀和空間觀念意識，提高數學推理的能力.

在積累如何判定兩個三角形相似的經驗過程中，增強數學學習的信心和克服困難的勇氣.

1.2 教學重難點分析

重點：三角形相似的判定定理：有兩個角對應相等的兩個三角形相似.

難點：三角形相似判定的預備定理的證明.

“三角形相似的判定定理的證明”是一個比較嚴格的推證系統.在這個推證系統中，預備定理的證明應用了“平行截割定理”，過程比較復雜，因此將其確定為本節課的難點.“有兩個角對應相等的兩個三角形相似”的判定定理作為本章判定兩個三角形相似的首個定理，創新度高，應用性強，而且為下面其他判定方法的探索起到了示范性作用，因此是本節課的重點.

2 教學設計

2.1 “從哪里來”——關注定理內容的生成

2.1.1 從“全等三角形”中來

首先回顧判定兩個三角形全等的定理都有哪些.

想一想：“三角形全等”的條件中，對角和邊的要求分別是什么？相似三角形中又如何要求？相似三角形的對應邊成比例，至少需要幾條邊？

說一說：模仿全等三角形“AAS，ASA，SAS，SSS，HL”判定定理，嘗試分別從邊、角結合的不同角度，說一說對三角形相似的判定方法的猜想.

設計意圖：“類比”是一種重要的數學推理思想，合理使用“類比”思想有助于我們構建數學知識體系，增強對知識理解的整體性.全等是特殊的相似，因此筆者設計從構成三角形的基本元素邊和角出發，讓學生類比“三角形全等”的研究方法，探索“三角形相似判定定理的證明”.

2.1.2 從“預備定理”中來

筆者引導學生從“有兩個角對應相等的兩個三角形相似”的猜想開始展開探索，從特殊情況著手：如圖1，已知點D，E分別是△ABC的邊AB和AC上的兩點，∠ADE=∠B，求證：△ADE∽△ABC.

追問：直線DE與BC存在怎樣的特殊位置關系？（引出預備定理）

方案一：如圖10，從A處沿與AB垂直的方向走45 m到達E處，插一根標桿，然后沿同方向繼續走15 m到達D處，再右轉90°走到C處，使B，E，C三點恰好在一條直線上.量得DC=20 m，這樣就可以求出河寬AB了.

教師首先嘗試讓學生自己設計測量方案，如果學生有困難可以給出方案一.

設計意圖：數學從生活中來，并且回到生活中去.學生之前已經有了利用全等三角形解決實際問題的經驗，因此可以借助類比思想，利用知識點之間的遷移，充分發揮個性，創新設計，解答問題.

2.3.3 到數學內部的知識結構中去

課堂小結：本節課使學生學習了判定兩個三角形相似的方法：預備定理和判定定理;使學生體會了“疊合法”在證明過程中的巧妙使用，為其他判定方法的探索積累經驗;使學生體會了類比、轉化、從特殊到一般思想的重要作用.

設計意圖：教師分別從基本知識和基本技能、基本活動經驗、基本思想三個層面對本節課加以小結，目的是讓學生在收獲新知識的同時，重視積累本節課的基本學習經驗，以提升自身學習數學的能力.

3 反思

3.1 教學設計特色解讀

（1）筆者從“處于特殊位置（圖1中的同位角和公共角）上的兩個角對應相等的兩個三角形是否相似”這個問題引入，巧妙地將對判定定理的研究首先落到對預備定理的探索上來，這比直接給出預備定理內容的方式更加自然和易于接受，有利于學生理解和進一步展開探索.

（2）筆者考慮判定定理證明過程中的“疊合法”首次提出，輔助線不易添加，設計了先旋轉再平移的圖形運動變化過程，借助幾何畫板先直觀感受，再展開合情推理，發現結論.

3.2 幾何直觀和數學推理思想的滲透

課標提出了十個核心概念，這些核心概念是義務教育階段數學課程中最應培養的數學素養.本節課著重提高學生的幾何直觀和推理能力方面的數學素養，以促進其全面發展.

在證明判定定理的過程中，教師借助幾何畫板演示三角形旋轉、平移的圖形變換，幫助學生利用圖形進行數學思考和想象，以此培養其幾何直觀能力.在變換的過程中，圖形具有保角、保距的剛性特征，這些由圖形所給出的直觀感受為結論的猜想和證明起到了有力的推進作用.因此，幾何直觀素養的滲透，在本節課的學習過程中起到了舉足輕重的作用.

本文所運用的類比、轉化與化歸、從特殊到一般的思想都是由數學推理的思想派生出來的，這些思想的有效滲透將有助于學生數學素養的提高.另外，本節課還合理地利用了合情推理和演繹推理，筆者深諳這兩者之間的區別和聯系，把經過合情推理產生的猜想作為教學的起點，引導學生反思、抽象、概括，從而進一步演化為演繹推理，很好地完成了從合情推理到演繹推理的過渡.

【參考文獻】

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.