函數一致連續性的教學難點與解析策略

潘偉云

【摘要】函數一致連續性是高等數學的重要基礎性質，其對學生未來的學習有重要的奠基作用.本文結合大專院校學生特點及數學分析教學的基本現狀，梳理函數一致連續性的教學難點，思考突破這一教學障礙的有效策略，為大專數學教師開展函數一致連續性教學提供參考.

【關鍵詞】函數;一致連續;認知障礙;幾何直觀;對比探究

一、函數一致連續性教學的主要障礙和難點

（一）教學障礙

函數一致連續性需要關聯函數的連續性來進行對比和差異化界定，例如不均勻的連續性是很難通過語言描述、視覺特征來總結的.我們經過訪談發現，學生理解函數一致連續性的認知障礙主要表現為以下幾點：一是不能很好地理解連續和連續性的差異，不能很好地理解“函數的連續性水平是在不同參數區間下表現出的變化程度的差異水平”;二是難以通過直觀觀察發現連續函數和一致連續函數在曲線圖像上的差異，例如學生在對比y=x和y=1x的圖像時不能很好地區分兩個函數在第一象限中曲線的平滑程度.從本質上看，這兩種認知障礙的關鍵性問題在于教學模式未能良好匹配學生的能力.

（二）教學難點

由上文分析可知，函數一致連續性的認知障礙在學生群體中的表現有所不同，這種問題可以通過更具適應性的訓練與講解策略來解決.筆者在總結自己多年教學經驗和體會后發現，在進行函數一致連續性教學時，學生普遍反映較難理解的內容有兩點：其一，與函數的連續性區分，比如有部分學生不能用數學語言揭示函數連續與一致連續的差異，其本質上是沒有真正理解函數的一致連續幾何與代數特性;其二，難以內化和理解函數局部和整體的性質，比如函數的整體一致連續性可以理解為“在坐標系中，函數的自變量區間δ無論如何取值，在與其相應的ε區間構成矩形后，函數的輸出值始終不會穿越該矩形”.

基于上述分析，對于大專數學函數一致連續性的教學，教師需要關注兩類要素：一是關注學生認知差異，讓學生通過適合自己的思維方式來理解函數一致連續性的本質特性;二是把握教學中出現頻率較高的難點、重點，在講解理解難度高的知識點時對學生進行更深入的指導.

二、以幾何直觀解決學生認知障礙的策略

由上文分析可知，教師在“一致”概念的教學中，可以按照多元智能理論的指導，選擇更易于被學生接受和理解的視覺思維模式，幫助其理解函數一致連續性.

筆者建議教師在教學實踐中將關鍵性問題的解析分為以下兩個步驟.

第一步，教師復述函數一致連續性概念和教材中的標準化描述：設函數f（x）在區間I上有定義，ε>0，δ>0，使得對于區間I上的任意兩點x1，x2，當x1-x2<δ時，恒有f（x1）-f（x2）<ε，則f（x）在區間I上一致連續.

在復述完概念后，教師再按照概念描述的條件來逐步模擬并繪制一個符合一致連續性的函數曲線.

如圖1所示，圖1（a）展示了函數在I區間的自變量與函數輸出值區間定義，圖1（b）表達了函數連續性在相應范圍內的展示.但只通過這種展示可能無法真正讓學生理解這種一致連續函數與普通函數有何種差異，因此，教師可以引入由ε，δ構成的矩形來展示函數一致連續與非一致連續的直觀差異.

如圖2所示，圖2（a）展示了函數自變量在δ內滑動時函數自變量與輸出值的變化浮動始終維持在由ε，δ構成的矩形內部，說明了函數連續性是比較平穩且小幅度的，而圖2（b）則展示了函數自變量在δ內向左滑動到一定程度時，函數輸出值的變化超出了由ε，δ構成的矩形，說明了在自變量下降到一定程度后，即便是小幅的變化也會引起函數輸出值的較大幅度變化，這種情況展示了連續性差異，也能從幾何直觀形式展現連續的“非一致”表現.

第二步，教師在通過幾何直觀充分強化學生對一致連續性的認識后，再采用極限等代數形式來展示一致連續的特點，這樣更容易讓學生理解一致連續的特點.例如：

由以上兩個極限形式，我們可以發現連續與一致連續的代數差異在于c和x2，這兩個參數的差異直接導致了連續與一致連續的靜態和動態差異.

至此，從視覺直觀到代數直觀的解析完成.這樣能夠更有效地幫助學生從幾何和代數層面分別理解這一概念，更形象且深刻地認識函數一致連續的特點.

在相應概念講解后，教師可以利用學生認知和記憶的短時殘留優勢，快速引入例題并通過圖形繪制和解析范例進一步展示更具應用型的、復雜的一致連續性函數.例如，設計對任意x1，x2∈（-∞，+∞），有如下函數關系：|f（x1）-f（x2）|=|sin x1-sin x2|=2cosx1+x22sinx1-x22≤2sinx1-x22≤2x1-x22=x1-x2，在此基礎上對于任意給定的ε>0，設δ=ε，則當x1-x2<δ時，有fx1-fx2<ε，由此進一步證明函數fx=sin x在（-∞，+∞）上一致連續.在該問題的分析過程中，我們可以直接基于上文分析過程中所使用的函數一致連續概念和幾何解析方式繪制類似的解析圖像（如圖3所示），從圖像上證明f（x）=sin x被無數個連續的ε，δ構成的矩形所覆蓋，參數變化的過程中輸出值始終不會穿越示例圖形.

在以上兩個步驟的圖形展示過程中，筆者建議教師采用動態工具來展示參數變化下的矩形穿越情形，從而使學生在動態的圖形變化中認知概念.

三、通過對比探究強化學生對相似概念區別的認知

有些學生不擅長幾何思維，教師可通過代數或幾何推理過程幫助其發現差異，理解概念特性.

第一步，教師通過對比函數連續和一致連續的概念差異來讓學生了解函數一致連續的特有性質.

函數一致連續的定義：設函數f（x）在區間I上有定義，ε>0，δ>0，使得對于區間I上的任意兩點x1，x2，當x1-x2<δ時，恒有|f（x1）-f（x2）|<ε，則f（x）在區間I上一致連續.

函數連續的定義：設函數f（x）在開區間I上有定義，對于區間I上的任意一點x0，如果有limx→x0f（x）=f（x0），則函數f（x）在區間I上是連續函數.

對比上述定義，我們可以發現函數一致連續定義相比于函數連續定義最顯著的區別在于對于定義域的限定更為嚴格.簡單來說，函數連續可以是多個定義域內部連續的組合，而函數一致連續的定義中對于定義域的限制是整體性的，即函數的基本條件同時受δ，ε和x2的影響.學生通過這種對比分析，能夠更好地理解函數一致連續所定義的“一致”是針對“連續強度”而言的.

第二步，教師通過對比函數一致連續和非一致連續來定位函數一致的關鍵特征.比如，教師設計如下證明題目來進一步引導學生發現非一致連續的內涵：設函數fx=sin 1x在區間（0，1）上有非一致連續特性.在具體證明中，教師引導學生先對參數進行轉換并設定一個代數區間作為一致連續的極限形式分析區間，即取xn=12nπ+π2，則yn=12nπ-π2，由此可發現limn→∞（xn-yn）=0，此時取ε為1，對δ>0，則能夠確定一個N值，在n0，δ>0，區間上任意兩點x1，x2，且f（x1）-f（x2）<ε，那么能否證明x1-x2<δ？分析該問題的關鍵在于找出條件不成立的點，其本質上是對函數一致連續性的回顧與條件檢驗.學生在解答此題時需要對fx=1x這個典型的非一致連續函數進行代數或幾何分析，例如通過代數方法進行分析：在x1→x2以1n的方式接近時，設x1=1n，則x2=1n+1，則可以發現limx1→x2f（x1）-f（x2）=limn→∞n-n+1=-1.故學生就可以進一步發現δ趨近于0，ε趨近于1，在這個假設問題中條件和結果均不成立.這種反例證明能夠有效幫助學生更清晰地把握一致連續的參數條件，以便在證明、反證等相關應用中更準確和靈活地運用函數一致連續的概念.

結 語

筆者認為教師在高等教育中進行關鍵性數學知識的教學時不僅僅要關注學生的學習難點，還要關注學生在知識認知與理解時的智能障礙.在此基礎上，教師可以先按照學生的性格特點設定教學方案分型策略，然后在各類教學方案中提出有針對性的難點分析與引導策略，確保學生的個性化發展與進步.

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