說題，助推數學教師專業發展*

●馮　濤　(北侖中學　浙江寧波　315800)

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說題，助推數學教師專業發展*

●馮濤(北侖中學浙江寧波315800)

摘要:著名數學教育家波利亞說過:中學數學教學的核心任務是解題，解題是中學數學中最有用的精華．本文結合筆者在2015年浙江省寧波市優質課評比中的說題案例，旨在闡明中學數學教師在專業成長中離不開解題研究，說題是助推教師成長的一種重要形式．說題不只是說，它包括了題目解法的探究、題目的推廣與引申、題目的深層次背景及其教育價值的挖掘．

關鍵詞:說題;專業成長;教學價值

2015年浙江省寧波市高中數學優質課評比在余姚中學舉行，來自各市區縣的代表參加了這次比賽．此次比賽分為上課展示和說題2個環節，說題環節的比賽在第一天下午展開，其規則大致和浙江省第2次說題比賽保持一致，即參賽教師從現場抽取題目，在單獨的教室準備30分鐘，然后在15分鐘時間內向專家評委解讀該題的解法、背景、引申、拓展以及教學價值．筆者有幸參加了這次比賽，并榮獲市一等獎．算上這次說題比賽的經歷，筆者已經參加了3次類似的專業比賽，對筆者在數學教育專業上的成長起到了助推器的作用，以下筆者結合說題經歷談談自己的體會．

1　說題引領教師深入研究解題

波利亞說過:中學數學教學的核心任務是解題．他又說:解題是中學數學中最有用的精華．每一位剛剛入行的數學教師都會被要求多解題，多研究高考題、競賽題，保持對解題旺盛的興趣和精力，并以此為契機打好堅實的解題功底．教師的解題與學生的解題有很大的區別，教師不僅要研究解題的結果，更加要關注數學本質以及內在思維方法和數學結構，而學生往往只是關注解題的結果．如果教師的解題停留在學生的層次，那么久而久之，教師的解題水平乃至興趣都會下降，專業發展基本趨于停滯．因此說題這樣一種教研活動實際上是一種助推教師個人專業發展的有效形式，它推動參與其中的每一位教師在研究狀態下進行日常的解題，將解題從一種簡單自發的工作任務轉變為自覺的學科研究行為．

此次說題比賽的第1個環節是說題目的解法，筆者抽到的題目是2015年上海市數學高考理科試題第14題．這是一道平面向量與平面幾何相結合的小題，總體難度并不大，筆者將所探求的主要解法整理如下:

圖1

(2015年上海市數學高考理科試題第14題)

注意到∠EDF+∠A=π，因此從而

解法2(消元法)

在解法1中，若沒有將2個面積等式整體相乘處理，則不妨考慮消元．由，知

從而

解法3在解法2的基礎上進一步改進消元法，以x為主元處理．如圖2，注意到點D 分BC恰為1∶2，故可作CG⊥AB于點G，則

圖2

即，于是

故

解法4將面積條件換個角度看，以∠CAD=

從而

解法5以A為原點、AB為x軸、過點A且與AB垂直的直線為y軸建立坐標系．設點C的坐標為

解法6利用向量投影的意義解決．只需要利用四點共圓，從而∠A與∠EDF的補角相等．延長ED，作FM⊥ED于點M，改進解法5，向量的投影為

根據數量積的幾何意義可知

由于該題并不難，無論哪種解法都需要將已知條件中的面積關系與所要求解的數量積聯系起來，以上這些不同的解法實際上是相通的，形式變化，而本質不變．若繼續探究，此題還有更多的解法，這種在解法上的求異思維、發散思維對教師提高解題能力和養成好的思維習慣大有裨益．

2　說題引領教師深化思維，挖掘數學本質

孟子曰:“賢者以其昭昭，使人昭昭．”意思是:要讓別人明白一件事情，自己首先要弄明白這件事情．因此，對于說題而言，探究一道題目的多種解法只是完成了說題的一個階段工作，如果教師在教學中也只是向學生展示了若干解法而不知引導學生升華思維，探究數學本質，那么好比入寶山而空返，這就需要教師進行解題后的追本溯源，深入剖析，高屋建瓴地把握解題規律，并有意識地將這樣的研究方法固化，一方面引領自身的專業發展，同時也引領學生優化思考方式，學會數學解題，最終達到培養思維能力的目的．

此次說題的另一重要環節就是說題目的引申與拓展．對這道題目而言，筆者經過深入探究得到了一系列一般性的結論，具體計算過程可以參考解法1，以下不再贅述．

圖3

1)將題目條件一般化．

如圖3，在銳角△ABC中，tanA=μ，D為邊BC上的點，△ABD與△ACD的面積分別為s，λs(其中λ＞0)．過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，則

2)將大前提改為鈍角三角形，其他條件相應也進行一般化．

如圖4，在鈍角△ABC中，∠A，∠B，∠C之一為鈍角，tanA=μ，D為邊BC上的點，△ABD與△ACD的面積分別為s，λs(其中λ＞0)．過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，則

圖4

圖5

3)將大前提改為直角三角形，其他條件相應也進行一般化．

①如圖5，在Rt△ABC中，∠B，∠C之一為直角，tanA=μ，D為邊BC上的點，△ABD與△ACD的面積分別為s，λs(其中λ＞0)．過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，則

②在Rt△ABC中，∠A為直角(tanA無意義)，D為邊BC上的點，△ABD與△ACD的面積分別為s，λs(其中λ＞0)．過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥ AC于點F，則

說明以上引申1)～3)主要改變了大前提——三角形的形狀，除了當∠A為直角時結論退化為0外，其余情形結論不變．這表明此題設置為銳角三角形或許只是為了降低考生對發現∠A與∠EDF互補這一隱含關系的難度，否則當三角形為鈍角三角形時，需要借助四點共圓中同弧所對圓周角相等來處理此題．另外，結論中的可以利用萬能公式化為sin2A，這樣結論顯得更加簡潔，只是考慮到條件是tanA=μ，讀者可以自行推導．

4)將題目的求解目標變成最值．

在銳角△ABC中，總面積設為定值s，tanA=μ，D為邊BC上的點，△ABD與△ACD的面積之比為λ(其中λ＞0)．過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，則

5)將三角形改為鈍角三角形，求解目標變成最值．

在鈍角△ABC中，∠B，∠C為鈍角，總面積為定值s，tanA=μ，D為邊BC上的點，△ABD與△ACD的面積之比為λ(其中λ＞0)．過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，則

6)將三角形改為鈍角三角形，求解目標變成最值．

在鈍角△ABC中，∠A為鈍角，總面積為定值s，tanA=μ，D為邊BC上的點，△ABD與△ACD的面積之比為λ(其中λ＞0)．過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，則

說明以上引申5)和6)的區別在于:當∠A為鈍角時，目標有最大值;當∠A不為鈍角，∠B或∠C為鈍角時，目標有最小值，并且都是在當且僅當點D在中點時達到相應的最值．如果把三角形改為直角三角形，當∠A為直角時沒有最值，只有定值0;當∠B，∠C為直角時，∠A為銳角，此時目標有最小值

由于比賽時間和自身認識結構的局限性，以上的一些引申與拓展，也可能尚未看到問題的本質，但通過對題目多角度的思考，教師的研究方法值得肯定，對所研究題目的結構也會逐漸清晰起來．

3　說題引領教師鉆研學科教學

在教師的專業發展中，教師的數學專業知識對于教學至關重要，但是并非具備了充足的數學知識就能成為一名好教師，還需要具有針對特定數學內容的教學知識，需要懂得教育學、心理學，清晰的語言表達能力，需要將數學的知識形態轉化為教學形態，最終服務于學生對數學的理解．

此次說題的第3個環節是說教學價值，只需要教師思考該問題在高中數學知識結構中的價值以及如何把這個問題講清楚，講透徹．

從知識上說，此題考查了解三角形面積知識、三角函數恒等變換知識、向量數量積知識、圓的知識、基本不等式知識等．

從方法上說，它涉及了消元法、主元法、方程法、整體代換法、坐標法等．

從思想上說，它應用了數形結合思想、主元思想、方程思想、化歸思想，在引申中用到了一般化思想和函數思想等．

在課堂教學中可以嘗試讓學生先自行解答，教師從旁引領鼓勵學生發表看法，并總結學生的解法，小結解題的知識、方法、思想，甚至可以鼓勵學生變題和編題．

例2如圖6，在銳角△ABC中，總面積為定值s，tanA=μ，D為邊BC上的點，△ABD與△ACD的面積之比為λ(其中λ＞0)．過點D作DE∥AC，DF∥AB，則

學生把原先2個垂直條件改變為平行，那么2個對角的互補關系變成了更為直接的相等關系，在其他條件不變的情形下，解決這個問題的數量積顯得更加順利，并且這是一個比較常見的向量數量積問題，還有學生認為原題命題者是在平行的基礎上，為了增加難度，而將平行改為了垂直．學生的參與將一堂傳統以教師講授為主的課轉化為了以學生探究為主的、師生合作的探究性課，效果截然不同．

圖6

圖7

4　說題引領教師反思創新

一位教師在專業發展過程中，最終是成為一名專家型的教師還是普通的教書匠，關鍵在于反思，比如這道題目除了以上的引申和拓展，似乎總是離問題本源尚存在距離，也就是說此題的深層數學背景是什么呢?

此次說題還有一個環節就是說背景，這需要教師透過現象看本質，這道題目條件中已知一個內角和三角形面積以及該內角的對邊上一個分點就能計算數量積，這說明數量積與面積有莫大的關聯，經過筆者探究發現，以銳角三角形為例得到:

例3在銳角△ABC中，tanA=μ，D為邊BC上的點，△ABD與△ACD的面積分別為s，λs(其中λ＞0)．過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，則

思考2此題另一個可能的背景是，此題可以聯想到向量積的模就是以2個向量所在邊構造的平行四邊形的面積，那么經探究可得與存在如下關系:

誠然，以上的反思和引申拓展離真正的創新尚存在差距，甚至并未將數學的本質看透，但是它至少引領我們明白解決一個題目并不是萬事大吉，它助推了教師養成解題后反思的習慣．只要這樣的研究狀態持之以恒，我們的進步是巨大的，那么距離真正意義上的創新也就不遠了．

數學教師的專業發展是一個不斷學習和積累數學學科知識的過程;是一個數學技能不斷形成和能力不斷提高的過程;是一個數學素養不斷形成和提升的過程．而說題恰好提供了一個十分契合的模式，有力地助推了數學教師的專業成長，除此之外，專業的發展還需要對數學教育理論不斷學習，對課堂教學進行深刻反思，對教學行為進行及時地調整．

作者簡介:馮濤(1979－)，男，浙江寧波人，中學一級教師，研究方向:數學教育．

修訂日期:*收文日期:2015-11-08;2015-12-11．

中圖分類號:O12

文獻標識碼:A

文章編號:1003－6407(2016)04-03-04