由一道高考題對形如“”類數列放縮的思考*

●虞關壽　張惠民　(紹興魯迅中學　浙江紹興　321000)

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●虞關壽張惠民(紹興魯迅中學浙江紹興321000)

摘要:由一道高考題引出對形如類數列放縮的5點思考．通過這5點的思考，指導學生在解決具體問題的過程中，要學會放縮，學會選用合適的形式進行放縮，學會根據具體問題的特點靈活選用．

關鍵詞:數列;求和;放縮

引題設數列{an}的前n項和為Sn，已知(其中

1)求數列{an}的通項公式;

(2013年廣東省數學高考試題)

即

此時

因此Sk+1更加逼近．

當n=1時，

當n≥2時，

可行．

可行．

由上面思考3與思考4知，當p=1，p=2時是可行的，下面驗證p=3，p=4是否可行．

發現能裂項但不能相消，盡管當n為有限數值且相對較小的正整數時，可通過計算驗證不等式是否成立，但當n→∞時，實在不容易證明不等式成立．因此采這種放縮是不可取的．

同樣可發現能裂項但不能相消，盡管當n為有限數值且相對較小的正整數時，可通過計算驗證不等式是否成立，但當n→∞時，實在不容易證明不等式成立．因此采這種放縮也是不可取的．下面探求一般情況的可行性．

由上述討論知當p=1，p=2時是可行的．下探求當p≥3時的情形．當n≥1時，

若能裂項相消，則條件是存在k，t∈N*，k－t≥1，有kp－1=pt+1，得因為，所以k－t=1或 k－t=2，從而p=1或p=2，于是p≥3是不可取的．

當然，在解決具體問題的過程中，選用哪種形式的放縮要根據具體問題的特點靈活選用，下面舉3個例子說明．

例1已知數列{an}滿足a1=2，且

本文根據MTConnect標準，針對車間數控機床數據采集需求及機床的構成組件，建立了目標車間數控機床設備信息模型，如圖1所示。圖中矩形框表示的元素為DateItem元素。數控機床的設備信息模型主要包括軸、控制器和系統3個組件(component)，軸的子組件(subcomponent)包括一個旋轉軸主軸和3個進給軸X、Y、Z軸，控制器的子組件為加工路徑信息，系統的子組件為電氣系統信息。

不等式成立．

例2在單調遞增數列{an}中，a1=2，a2=4，且a2n－1，a2n，a2n+1成等差數列，a2n，a2n+1，a2n+2成等比數列，n=1，2，3，…．

1)求數列{an}的通項公式;

(2014年湖北省高中數學競賽試題)

綜上所述，{an}的通項公式為

又因為(n+2)2=(n+2)(n+2)＜(n+2)(n+3)，所以

因此

例3設Tn是數列{an}的前n項之積，滿足Tn=1－an，其中n∈N*．

1)求數列{an}的通項公式;

2)設Sn=T21+T22+…+T2n，求證:

(2015年湖北省高二數學競賽試題)

另一方面，

作者簡介:虞關壽(1966－)，男，浙江紹興人，中學高級教師，研究方向:數學教育．

修訂日期:*收文日期:2015-11-05;2016-01-28．

中圖分類號:O122

文獻標識碼:A

文章編號:1003－6407(2016)04-37-06